Упр.224 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 224

Исправим опечатку в первом уравнении: вместо $$\frac{y^2}{x^3-xy^2}-\frac{1}{x+y}$$ рассматриваем

$$\left(\frac{x^2-xy}{y^2+xy}-\frac{(x-y)^2}{x^2+xy}\right)\cdot\left(\frac{y^2}{x^3-xy^2}+\frac{1}{x+y}\right)^{-1}\cdot (x-y)^{-2}=-\frac{x}{2},$$

$$x^2-y^2=3.$$

Преобразуем первое уравнение:

$$\frac{x(x-y)}{y(y+x)}-\frac{(x-y)^2}{x(y+x)}=(x-y)\left(\frac{x}{y(y+x)}-\frac{x-y}{x(y+x)}\right),$$

$$\frac{y^2}{x^3-xy^2}+\frac{1}{x+y}=\frac{y^2}{x(x^2-y^2)}+\frac{1}{x+y}=\frac{y^2+x(x-y)(x+y)}{x(x^2-y^2)(x+y)}.$$

После упрощения получаем равносильное уравнение

$$\frac{1}{y}=-\frac{x}{2}.$$

Тогда система равносильна системе

$$ \begin{cases} \frac{1}{y}=-\frac{x}{2},\\ x^2-y^2=3. \end{cases} $$

Из первого уравнения

$$x=-\frac{2}{y}.$$

Подставим во второе:

$$\left(-\frac{2}{y}\right)^2-y^2=3,$$

$$\frac{4}{y^2}-y^2=3,$$

$$4-y^4=3y^2,$$

$$y^4+3y^2-4=0.$$

Обозначим $$t=y^2$$. Тогда

$$t^2+3t-4=0,$$

$$\left(t-1\right)\left(t+4\right)=0.$$

Так как $$t=y^2\ge 0,$$ то $$t=1.$$ Следовательно,

$$y^2=1,\quad y=\pm 1.$$

Находим $$x$$:

$$x=-\frac{2}{y}.$$

Если $$y=1,$$ то $$x=-2.$$ Если $$y=-1,$$ то $$x=2.$$

Проверка области допустимых значений выполнена: знаменатели не обращаются в нуль.

Ответ

$$( -2;\,1)\cup(2;\,-1).$$