Упр.223 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 223 (МИСиС)

Обозначим:

$$u=x+y,\quad v=x-y.$$

Тогда второе уравнение системы принимает вид:

$$\frac{u^5+v^5}{u^5-v^5}=\frac{1025}{1023}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$1023(u^5+v^5)=1025(u^5-v^5).$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$1023u^5+1023v^5=1025u^5-1025v^5,$$
$$2048v^5=2u^5,$$
$$1024v^5=u^5.$$

Так как $$1024=4^5,$$ получаем:

$$u=4v.$$

Возвращаясь к переменным $$x$$ и $$y,$$ имеем:

$$x+y=4(x-y),$$
$$x+y=4x-4y,$$
$$3x=5y,$$
$$y=\frac35x.$$

Подставим это в первое уравнение:

$$x^2+xy+y^2+x+y=57,$$
$$x^2+x\cdot\frac35x+\left(\frac35x\right)^2+x+\frac35x=57.$$

Умножим на $$25$$:

$$25x^2+15x^2+9x^2+25x+15x=1425,$$
$$49x^2+40x-1425=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=40^2-4\cdot49\cdot(-1425)=57600,$$
$$\sqrt D=240.$$

$$x=\frac{-40\pm240}{98}.$$

Отсюда:

$$x_1=5,\quad x_2=-\frac{140}{49}=-\frac{20}{7}.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$y=\frac35x.$$

Если $$x=5,$$ то $$y=3.$$

Если $$x=-\frac{20}{7},$$ то $$y=-\frac{12}{7}.$$

Проверка показывает, что оба решения подходят.

Ответ

$$\left(5;3\right),\ \left(-\frac{20}{7};-\frac{12}{7}\right)$$