Упр.220 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 220 (МГУ, геогр. ф-т).

Подробный ответ

Рассмотрим неравенство

$$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{|x|}\ge 2.$$

По определению модуля разобьём решение на два случая.

1) Если $$x>0$$, то $$|x|=x$$, и получаем

$$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x}\ge 2.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x+(x+1)-2x(x+1)}{x(x+1)}\ge 0,$$

$$\frac{2x+1-2x^2-2x}{x(x+1)}\ge 0,$$

$$\frac{1-2x^2}{x(x+1)}\ge 0.$$

Так как при $$x>0$$ знаменатель положителен, то достаточно решить

$$1-2x^2\ge 0,$$

$$x^2\le \frac12,$$

$$0<x\le \frac{1}{\sqrt2}.$$

2) Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, и получаем

$$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\ge 2.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x-(x+1)-2x(x+1)}{x(x+1)}\ge 0,$$

$$\frac{-1-2x^2-2x}{x(x+1)}\ge 0,$$

$$\frac{2x^2+2x+1}{x(x+1)}\le 0.$$

Числитель $$2x^2+2x+1>0$$ при всех $$x$$, значит дробь не может быть неположительной, если знаменатель положителен. При $$x<0$$ и $$x+1<0$$ получаем $$x<-1$$, но тогда $$x(x+1)>0$$, что тоже не подходит. Следовательно, решений при $$x<0$$ нет.

Итак, остаётся только случай $$x>0$$:

$$x\in \left(0;\frac{1}{\sqrt2}\right].$$