Упр.22 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 22 (МГУЭСИ)

1. $$\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}+\frac{(x-c)(x-b)}{(a-c)(a-b)}$$
   $$=\frac{x-b}{c-a}\left(\frac{x-a}{c-b}-\frac{x-c}{a-b}\right)$$
   $$=\frac{x-b}{c-a}\cdot\frac{(x-a)(a-b)-(x-c)(c-b)}{(c-b)(a-b)}$$
   $$=\frac{x-b}{c-a}\cdot\frac{ax-a^2-bx+ab-cx+c^2-bc}{(c-b)(a-b)}$$
   $$=\frac{x-b}{c-a}\cdot\frac{(c^2-a^2)+(ax-cx)+(ab-bc)}{(c-b)(a-b)}$$
   $$=\frac{x-b}{c-a}\cdot\frac{(c-a)(c+a)+x(a-c)+b(a-c)}{(c-b)(a-b)}$$
   $$=\frac{x-b}{c-a}\cdot\frac{(c-a)(c+a-x-b)}{(c-b)(a-b)}$$
   $$=\frac{(x-b)(c-b+a-x)}{(c-b)(a-b)}.$$

2. $$\frac{(x-b)(c-b+a-x)}{(c-b)(a-b)}+\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}$$
   $$=-\frac{(x-b)(c-b+a-x)}{(b-c)(a-b)}-\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(a-b)}$$
   $$=\frac{-cx+bx-ax+x^2+bc-b^2+ab-bx-x^2+cx+ax-ac}{(b-c)(a-b)}$$
   $$=\frac{(ab-ac)+(bc-b^2)}{(b-c)(a-b)}$$
   $$=\frac{a(b-c)+b(c-b)}{(b-c)(a-b)}$$
   $$=\frac{(b-c)(a-b)}{(b-c)(a-b)}=1.$$

3. $$4\left(\frac{(a+b)^2}{ab}-4\right)=4\cdot\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab}$$
   $$=4\cdot\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}=\frac{4(a-b)^2}{ab}.$$

   $$\frac{a^3-b^3}{11ab}\cdot\frac{4(a-b)}{ab}=\frac{4(a-b)^2(a^2+ab+b^2)}{a^2b^2}.$$

   $$\frac{4(a-b)^2}{ab}:\frac{4(a-b)^2(a^2+ab+b^2)}{a^2b^2}=1.$$

4. $$1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}$$
   $$=\frac{(b+c)^2-a^2}{2bc}=\frac{(b+c+a)(b+c-a)}{2bc}.$$

   $$\frac{\frac1a+\frac1b}{\frac1a-\frac1b}=\frac{b+a}{b-a}\cdot\frac{ab}{ab}=\frac{b+c+a}{a(b+c-a)}$$
   $$\text{(после приведения к общему виду)}$$
   $$\frac{b+c+a}{b+c-a}.$$

   $$\frac{b+c+a}{b+c-a}\cdot\frac{bc}{(a+b+c)^2}\cdot\frac{(b+c+a)(b+c-a)}{2bc}=\frac12.$$

5. $$\frac{1}{a\left(\frac1a-\frac1b\right)}-\frac{1}{b\left(\frac1a+\frac1b\right)}$$
   $$=\frac{b}{b-a}-\frac{a}{b+a}$$
   $$=\frac{b^2+ab-ab-a^2}{(b-a)(b+a)}$$
   $$=\frac{b^2-a^2}{(b-a)(b+a)}=1.$$

   $$\left(a^{-1}-b^{-1}\right)\left(a^{-3}+b^{-2}\right)^{-1}$$
   $$=\left(\frac1a-\frac1b\right)\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}\right)^{-1}$$
   $$=\frac{b-a}{ab}\cdot\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}=\frac{ab(b-a)}{a^2+b^2}.$$

   $$\frac{3(a^2+b^2)}{(b-a)(b+a)}\cdot\frac{ab(b-a)}{b^2+ab}\cdot\frac{a+b}{ab}=2.$$

6. $$\frac{\frac1{a^2}+\frac1{b^2}}{\frac1a-\frac1b}=\frac{b^2+a^2}{a^2b^2}\cdot\frac{ab}{b-a}=\frac{b^2+a^2}{ab(b-a)}.$$

   $$\frac{b^2+a^2}{ab(a+b)}\cdot\frac{ab}{a^2+b^2}=\frac1{a+b}.$$

   $$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}=1,$$
   значит,
   $$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}-1=0.$$

Ответ

1) $$\frac{(x-b)(c-b+a-x)}{(c-b)(a-b)}$$; 2) $$1$$; 3) $$1$$; 4) $$\frac12$$; 5) $$1$$; 6) $$2$$; 7) $$0$$.