Упр.219 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим неравенство

$$\log_2\log_{\frac12}\frac{3x+4}{4x+8}\le 0.$$

Так как основание внешнего логарифма больше $$1$$, то

$$0<\log_{\frac12}\frac{3x+4}{4x+8}\le 1.$$

Поскольку основание внутреннего логарифма равно $$\frac12<1$$, получаем систему:

$$\begin{cases} \frac{3x+4}{4x+8}\ge \frac12,\\ \frac{3x+4}{4x+8}<1. \end{cases}$$

Решим каждое неравенство:

$$\frac{3x+4}{4x+8}\ge \frac12 \iff \frac{2(3x+4)-(4x+8)}{2(4x+8)}\ge 0 \iff \frac{x}{x+2}\ge 0.$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;-2)\cup[0;+\infty).$$

Далее:

$$\frac{3x+4}{4x+8}<1 \iff \frac{3x+4-(4x+8)}{4x+8}<0 \iff \frac{-x-4}{x+2}<0 \iff \frac{x+4}{x+2}>0.$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;-4)\cup(-2;+\infty).$$

С учётом области определения логарифмов пересекаем полученные множества:

$$\left((-\infty;-2)\cup[0;+\infty)\right)\cap\left((-\infty;-4)\cup(-2;+\infty)\right)=(-\infty;-4)\cup[0;+\infty).$$

Но при $$x<-4$$ аргумент внутреннего логарифма положителен, а при $$x=0$$ он равен $$\frac12$$, поэтому решение можно записать как

$$x\in(-\infty;-4)\cup[0;+\infty).$$

Ответ

$$x\in(-\infty;-4)\cup[0;+\infty).$$