Упр.218 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 218 (МГУ, геогр. ф-т). |x — 6| + 3х + 1 < = 5. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 povtor/218 118

Рассмотрим неравенство

$$|x-6|+\sqrt{3x+1}\le 5.$$

Так как $$\sqrt{3x+1}\ge 0,$$ то обязательно $$3x+1\ge 0,$$ то есть $$x\ge -\frac13.$$

Распишем модуль по случаям.

1) Если $$x\ge 6,$$ то $$|x-6|=x-6,$$ и неравенство принимает вид

$$x-6+\sqrt{3x+1}\le 5,$$

$$\sqrt{3x+1}\le 11-x.$$

Здесь нужно дополнительно иметь $$11-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 11.$$ Тогда можно возвести в квадрат:

$$3x+1\le (11-x)^2,$$

$$3x+1\le x^2-22x+121,$$

$$x^2-25x+120\ge 0,$$

$$ (x-5)(x-24)\ge 0.$$

С учётом $$6\le x\le 11$$ получаем

$$x\in[6,11].$$

2) Если $$x<6,$$ то $$|x-6|=6-x,$$ и неравенство имеет вид

$$6-x+\sqrt{3x+1}\le 5,$$

$$\sqrt{3x+1}\le x-1.$$

Здесь нужно $$x-1\ge 0,$$ то есть $$x\ge 1.$$ Тогда возводим в квадрат:

$$3x+1\le (x-1)^2,$$

$$3x+1\le x^2-2x+1,$$

$$x^2-5x\ge 0,$$

$$x(x-5)\ge 0.$$

С учётом $$1\le x<6$$ получаем

$$x\in[5,6).$$

Объединяем оба случая:

$$x\in[5,11].$$

Ответ

$$x\in[5,11].$$