Упр.217 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_{x-2}x\leq\log_{x-2}4$$; б) $$2\log_{\pi}\sin x\cdot\log_{\pi}\sin 2x-\log_{\pi}^{2}\sin 2x\leq\log_{\pi}^{2}\sin x$$.

а) Рассмотрим неравенство

$$\log_{x-2} x \le \log_{x-2} 4.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\log_{x-2} x-\log_{x-2} 4 \le 0,$$

$$\log_{x-2}\frac{x}{4}\le 0.$$

Область определения:

$$x-2>0,\quad x-2\ne 1,\quad x>0.$$

То есть

$$x>2,\quad x\ne 3.$$

Рассмотрим знак основания логарифма.

1) Если $$x-2>1,$$ то есть $$x>3,$$ тогда

$$\frac{x}{4}\le 1,$$

$$x\le 4.$$

Получаем:

$$3<x\le 4.$$

2) Если $$0<x-2<1,$$ то есть $$2<x<3,$$ тогда знак неравенства меняется:

$$\frac{x}{4}\ge 1,$$

$$x\ge 4,$$

что невозможно при $$2<x<3.$$

Следовательно, решение неравенства:

$$x\in(3;4].$$

б) Рассмотрим неравенство

$$2\log_{\pi}(\sin x)\cdot \log_{\pi}(\sin 2x)-\log_{\pi}^2(\sin 2x)\le \log_{\pi}^2(\sin x).$$

Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем:

$$2\log_{\pi}(\sin x)\log_{\pi}(\sin 2x)-\log_{\pi}^2(\sin 2x)-\log_{\pi}^2(\sin x)\le 0,$$

$$-\bigl(\log_{\pi}(\sin x)-\log_{\pi}(\sin 2x)\bigr)^2\le 0.$$

Это неравенство выполняется всегда, когда выражения под логарифмами определены:

$$\sin x>0,\quad \sin 2x>0.$$

Решим систему:

$$\sin x>0 \;\Rightarrow\; 2\pi k<x<\pi+2\pi k,$$

$$\sin 2x>0 \;\Rightarrow\; \pi k<x<\frac{\pi}{2}+\pi k,$$

$$k\in\mathbb Z.$$

Пересечение этих промежутков даёт:

$$2\pi k<x<\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in(3;4].$$

б) $$x\in\left(2\pi k;\frac{\pi}{2}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$