Упр.216 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 216 (МГУ, биол. ф-т).

Сделаем замену:

$$\log_2 x=t.$$

Тогда неравенство примет вид

$$\frac{t-3}{\frac{6}{t}-1}\le 2.$$

Перенесём $2$ в левую часть:

$$\frac{t-3}{\frac{6}{t}-1}-2\le 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{t-3-2\left(\frac{6}{t}-1\right)}{\frac{6}{t}-1}\le 0.$$

Умножим числитель и знаменатель на $t$:

$$\frac{t^2-3t-2(6-t)}{6-t}\le 0.$$

$$\frac{t^2-t-12}{6-t}\le 0.$$

Разложим числитель на множители:

$$\frac{(t-4)(t+3)}{6-t}\le 0.$$

Критические точки: $t=-3$, $t=4$, $t=6$.

Методом интервалов получаем:

$$t\in[-3;0)\cup(0;4]\cup(6;+\infty).$$

Так как $$x=2^t,$$ то

$$x\in\left[2^{-3};2^0\right)\cup\left(2^0;2^4\right]\cup\left(2^6;+\infty\right).$$

Следовательно,

$$x\in\left[\frac18;1\right)\cup(1;16]\cup(64;+\infty).$$

Ответ

$$x\in\left[\frac18;1\right)\cup(1;16]\cup(64;+\infty).$$