Упр.215 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 215 (МГУ, хим. ф-т). 2lg(x2-1) > = (х + 1)lg2. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 povtor/215 118

Рассмотрим неравенство

$$2^{\lg(x^2-1)} \ge (x+1)^{\lg 2}.$$

Область определения:

$$x^2-1>0,\qquad x+1>0.$$

Так как $$x^2-1=(x-1)(x+1),$$ а при положительных основаниях можно применить свойство $$a^{\lg b}=b^{\lg a},$$ получаем

$$2^{\lg(x^2-1)}=(x^2-1)^{\lg 2},$$

поэтому неравенство равносильно

$$ (x^2-1)^{\lg 2} \ge (x+1)^{\lg 2}. $$

Так как $$\lg 2>0,$$ функция $$t^{\lg 2}$$ возрастает при $$t>0,$$ значит

$$x^2-1 \ge x+1.$$

Решим неравенство:

$$ x^2-x-2 \ge 0 \\ (x-2)(x+1)\ge 0. $$

Отсюда

$$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$

С учётом области определения $$x>1$$ остаётся

$$x\ge 2.$$

Ответ

$$[2;+\infty)$$