Упр.214 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 214 (МГУ, мехмат)

Подробный ответ

б) Пусть $$a=7+\sqrt{22}, \quad b=7-\sqrt{22}.$$ Тогда

$$ab=(7+\sqrt{22})(7-\sqrt{22})=49-22=27,$$

значит, $$b=\dfrac{27}{a}.$$

Исходное неравенство:

$$27^x+24\ge 2(7+\sqrt{22})^x+12(7-\sqrt{22})^x.$$

Подставим $$b=\dfrac{27}{a}$$:

$$27^x+24\ge 2a^x+12\left(\frac{27}{a}\right)^x.$$

Умножим на $$a^x>0$$:

$$27^x a^x+24a^x\ge 2a^{2x}+12\cdot 27^x.$$

Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем:

$$27^x(a^x-12)-2a^x(a^x-12)\ge 0,$$

$$\bigl(a^x-12\bigr)\bigl(27^x-2a^x\bigr)\ge 0.$$

Отсюда получаем совокупность систем:

$$ \begin{cases} a^x\ge 12,\\ 27^x\ge 2a^x \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} a^x\le 12,\\ 27^x\le 2a^x \end{cases} $$

Так как $$a=7+\sqrt{22}>1,$$ а $$\dfrac{27}{a}=7-\sqrt{22},$$ то

$$ \begin{cases} x\ge \log_{7+\sqrt{22}}12,\\ \left(\dfrac{27}{7+\sqrt{22}}\right)^x\ge 2 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x\le \log_{7+\sqrt{22}}12,\\ \left(\dfrac{27}{7+\sqrt{22}}\right)^x\le 2 \end{cases} $$

То есть

$$ \begin{cases} x\ge \log_{7+\sqrt{22}}12,\\ (7-\sqrt{22})^x\ge 2 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x\le \log_{7+\sqrt{22}}12,\\ (7-\sqrt{22})^x\le 2 \end{cases} $$

Так как $$0<7-\sqrt{22}<1,$$ получаем

$$x\le \log_{7-\sqrt{22}}2 \quad \text{и} \quad x\ge \log_{7-\sqrt{22}}2.$$

Итог:

$$x\in(-\infty;\log_{7-\sqrt{22}}2)\cup(\log_{7+\sqrt{22}}12;+\infty).$$

в) Обозначим

$$t=15^x,\qquad t>0.$$

Тогда неравенство приводится к виду

$$t\le \frac{1}{16-15t}.$$

С учётом области определения $$16-15t\ne 0$$ получаем

$$\frac{16t-15t^2-1}{16-15t}\le 0.$$

Числитель раскладывается:

$$16t-15t^2-1=-(15t^2-16t+1)=-(15t-1)(t-1).$$