Упр.213 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 213 (МГУ, ИСАиА)

Пусть

$$t=\log_3 x.$$

Тогда

$$\log_{3x}\sqrt[3]{\frac{x}{3}}=\frac13\log_{3x}\frac{x}{3}=\frac13\cdot\frac{\log_3 x-1}{\log_3 3+\log_3 x}=\frac{t-1}{3(t+1)}.$$

Неравенство принимает вид

$$ (1+t)\sqrt{\frac{t-1}{3(t+1)}}\le 2. $$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$1+t<0,$$ то левая часть не положительна, а значит неравенство выполняется при условии существования корня:

$$\frac{t-1}{3(t+1)}\ge 0.$$

При $$t<-1$$ числитель и знаменатель отрицательны, поэтому это условие выполнено. Значит,

$$t<-1.$$

2) Если $$1+t\ge 0,$$ то можно возвести неравенство в квадрат:

$$ (1+t)^2\cdot \frac{t-1}{3(t+1)}\le 4, $$

откуда

$$ \frac{(t+1)(t-1)}{3}\le 4. $$

С учётом условия существования корня и $$t\ge -1$$ получаем

$$t\ge 1,$$

а также

$$t^2-1\le 12.$$

Следовательно,

$$1\le t\le \sqrt{13}.$$

Итак,

$$t\in(-\infty,-1)\cup[1,\sqrt{13}].$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_3 x<-1 \quad \text{или} \quad 1\le \log_3 x\le \sqrt{13}.$$

Отсюда

$$0<x<\frac13 \quad \text{или} \quad 3\le x\le 3^{\sqrt{13}}.$$

Ответ

$$x\in\left(0;\frac13\right)\cup\left[3;3^{\sqrt{13}}\right].$$