Упр.212 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) (МГУ, экон. ф-т).

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{1}{\log_{\frac12}(2x^2-1)}>\frac{1}{\log_{\frac14}x}+\frac{1}{\log_{\frac13}x}.$$

Переходим к основанию $$\frac{1}{12}$$:

$$\frac{1}{\log_{\frac1{12}}(2x^2-1)}>\frac{1}{\log_{\frac1{12}}x}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\log_{\frac1{12}}x-\log_{\frac1{12}}(2x^2-1)}{\log_{\frac1{12}}(2x^2-1)\log_{\frac1{12}}x}>0.$$

Отсюда получаем совокупность систем:

$$ \begin{cases} \log_{\frac1{12}}x-\log_{\frac1{12}}(2x^2-1)>0,\\ \log_{\frac1{12}}(2x^2-1)\log_{\frac1{12}}x>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} \log_{\frac1{12}}x-\log_{\frac1{12}}(2x^2-1)<0,\\ \log_{\frac1{12}}(2x^2-1)\log_{\frac1{12}}x<0. \end{cases} $$

Так как основание $$\frac1{12}<1,$$ то

$$\log_{\frac1{12}}x-\log_{\frac1{12}}(2x^2-1)>0 \iff x<2x^2-1,$$

$$\log_{\frac1{12}}x-\log_{\frac1{12}}(2x^2-1)<0 \iff x>2x^2-1.$$

Кроме того,

$$\log_{\frac1{12}}(2x^2-1)\log_{\frac1{12}}x>0 \iff x\in\left(0,\frac1{\sqrt2}\right)\cup(1,+\infty),$$

$$\log_{\frac1{12}}(2x^2-1)\log_{\frac1{12}}x<0 \iff x\in\left(\frac1{\sqrt2},1\right).$$

Решая соответствующие системы, получаем:

$$x\in\left(1,+\infty\right).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\log_2(2^x-3)\cdot \log_{\sqrt2}(4^{x+2}-12\cdot 2^{x+3}+144)<32.$$

Преобразуем второй логарифм:

$$4^{x+2}-12\cdot 2^{x+3}+144=16\left(2^x-3\right)^2,$$

поэтому

$$\log_{\sqrt2}(4^{x+2}-12\cdot 2^{x+3}+144)=\log_{\sqrt2}\bigl(16(2^x-3)^2\bigr).$$

Сделаем замену:

$$t=\log_2(2^x-3).$$

Тогда

$$\log_{\sqrt2}\bigl(16(2^x-3)^2\bigr)=2\log_2\bigl(16(2^x-3)^2\bigr)=2(4+2t).$$

Получаем неравенство

$$t\cdot 2(4+2t)<32,$$

то есть

$$t^2+2t-8<0.$$

Корни квадратного трёхчлена:

$$t_1=-4,\qquad t_2=2.$$

Следовательно,

$$-4<t<2.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$-4<\log_2(2^x-3)<2.$$

Тогда

$$\frac1{16}<2^x-3<4,$$

$$\frac{49}{16}<2^x<7,$$

$$\log_2\frac{49}{16}<x<\log_2 7.$$

Так как

$$\log_2\frac{49}{16}=\log_2 49-4,$$

получаем окончательно:

$$x\in\left(\log_2 49-4,\log_2 7\right).$$

Ответ

а) $$x\in(1,+\infty).$$ б) $$x\in\left(\log_2 49-4,\log_2 7\right).$$