Упр.211 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 211 (МГУ, хим. ф-т)

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{1}{\left(\sqrt{\frac{2-x}{x}}-\frac{x+1}{2x}\right)^2}\ge 0.$$

Так как числитель равен $1$, а знаменатель — квадрат, то выражение неотрицательно при всех допустимых значениях, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.

Найдём область допустимых значений:

$$\frac{2-x}{x}\ge 0,\qquad x\ne 0.$$

Отсюда

$$0<x\le 2.$$

Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$\sqrt{\frac{2-x}{x}}-\frac{x+1}{2x}\ne 0.$$

Решим уравнение

$$\sqrt{\frac{2-x}{x}}=\frac{x+1}{2x}.$$

Возведём в квадрат:

$$\frac{2-x}{x}=\frac{(x+1)^2}{4x^2}.$$

Умножим на $4x^2$:

$$4x(2-x)=(x+1)^2.$$

$$8x-4x^2=x^2+2x+1.$$

$$5x^2-6x+1=0.$$

$$x=1,\quad x=\frac15.$$

Оба значения лежат в области допустимых значений, значит их нужно исключить.

Итак, решение:

$$x\in(0;\tfrac15)\cup(\tfrac15;1)\cup(1;2].$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{1}{\left(\sqrt{\frac{1-x}{x+1}}-\frac{x+2}{2x+2}\right)^2}\ge 0.$$

Найдём область допустимых значений:

$$\frac{1-x}{x+1}\ge 0,\qquad x\ne -1.$$

Отсюда

$$-1<x\le 1.$$

Знаменатель не должен быть равен нулю:

$$\sqrt{\frac{1-x}{x+1}}-\frac{x+2}{2x+2}\ne 0.$$

Решим уравнение

$$\sqrt{\frac{1-x}{x+1}}=\frac{x+2}{2x+2}.$$

Возведём в квадрат:

$$\frac{1-x}{x+1}=\frac{(x+2)^2}{4(x+1)^2}.$$

Умножим на $4(x+1)^2$:

$$4(1-x)(x+1)=(x+2)^2.$$

$$4(1-x^2)=x^2+4x+4.$$

$$5x^2+4x=0.$$

$$x(5x+4)=0.$$

$$x=0,\quad x=-\frac45.$$

Оба значения принадлежат области допустимых значений, поэтому их исключаем.

Следовательно,

$$x\in(-1;-\tfrac45)\cup(-\tfrac45;0)\cup(0;1].$$

Ответ

а) $$\left(0;\frac15\right)\cup\left(\frac15;1\right)\cup(1;2]$$

б) $$(-1;-\frac45)\cup(-\frac45;0)\cup(0;1]$$