Упр.210 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 210 (МГУ, физ. ф-т).

Подробный ответ

$$\left(\frac15\right)^{1-x}\cdot 5^{\sqrt{-x}}>\frac1{25}$$
Так как $$\frac1{25}=5^{-2}$$, а основание $$5>1$$, получаем:
$$5^{1-x+\sqrt{-x}}>5^{-2}$$
Следовательно,
$$1-x+\sqrt{-x}>-2$$
$$\sqrt{-x}>-x-1$$
Область определения: $$x\le 0$$.
Рассмотрим случаи.
1) Если $$-x-1<0$$, то есть $$x>-1$$, неравенство выполняется при всех $$x\le 0$$. Получаем:
$$x\in(-1;0]$$
2) Если $$-x-1\ge 0$$, то есть $$x\le -1$$, можно возвести обе части в квадрат:
$$-x>(-x-1)^2$$
$$-x&gt{x^2+2x+1}$$
$$x^2+3x+1<0$$
Корни уравнения $$x^2+3x+1=0$$:
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt5}{2}$$
Тогда
$$x\in\left(\frac{-3-\sqrt5}{2};\frac{-3+\sqrt5}{2}\right)$$
С учётом условия $$x\le -1$$ получаем:
$$x\in\left(\frac{-3-\sqrt5}{2};-1\right]$$
Объединяя, имеем:
$$x\in\left(\frac{-3-\sqrt5}{2};0\right]$$
$$\frac{2^x+5x+8}{x-2}\le 5$$
Перенесём $$5$$ в левую часть:
$$\frac{2^x+5x+8-5(x-2)}{x-2}\le 0$$
$$\frac{2^x+18}{x-2}\le 0$$
Так как $$2^x+18>0$$ при всех $$x$$, знак дроби определяется знаменателем. Поэтому:
$$x-2<0$$
$$x<2$$
$$\sqrt{2\log_9(3x^2-4)}>\log_3\sqrt{3x^2-4}$$
Пусть $$t=\log_3(3x^2-4)$$. Тогда
$$\log_9(3x^2-4)=\frac12\log_3(3x^2-4)=\frac t2$$
и неравенство принимает вид:
$$\sqrt{t}>\frac12 t$$
Область определения: $$3x^2-4>0$$ и $$t\ge 0$$.
При $$t\ge 0$$ можно возвести в квадрат:
$$t>\frac14t^2$$
$$t\left(\frac14t-1\right)<0$$
Так как $$t\ge 0$$, получаем:
$$0<t<4$$
Возвращаясь к $$x$$:
$$0<\log_3(3x^2-4)<4$$
$$1<3x^2-4<81$$
$$5<3x^2<85$$
$$\frac53<x^2<\frac{85}{3}$$
Следовательно,
$$x\in\left(-\sqrt{\frac{85}{3}};-\sqrt{\frac53}\right)\cup\left(\sqrt{\frac53};\sqrt{\frac{85}{3}}\right)$$