Упр.21 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение.

Упростим выражение:

$$\left(\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}-\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\right)\cdot \frac{5a^2-5b^2}{a^2+b^2}$$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$$\frac{(a+b)^2+(a-b)^2-(a^2+b^2)}{a^2-b^2}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(a+b)^2+(a-b)^2-(a^2+b^2)$$
$$= (a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)-a^2-b^2$$
$$= a^2+b^2$$

Тогда всё выражение равно:

$$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\cdot \frac{5a^2-5b^2}{a^2+b^2}$$

Сократим на $$a^2+b^2$$ и учтём, что $$5a^2-5b^2=5(a^2-b^2)$$:

$$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\cdot \frac{5(a^2-b^2)}{a^2+b^2}=5$$

Ответ

$$5$$