Упр.21 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

21.

Упростим выражение:

$$ \left(\frac{a+b}{a-b}+\frac{a-b}{a+b}-\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\right)\cdot \frac{5a^2-5b^2}{a^2+b^2} $$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$$ \frac{(a+b)^2+(a-b)^2-(a^2+b^2)}{a^2-b^2} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ (a+b)^2+(a-b)^2-(a^2+b^2) $$
$$ = (a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)-a^2-b^2 $$
$$ = a^2+b^2 $$

Тогда всё выражение равно:

$$ \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\cdot \frac{5a^2-5b^2}{a^2+b^2} $$

Сократим на $$a^2+b^2$$ и учтём, что $$5a^2-5b^2=5(a^2-b^2)$$:

$$ \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\cdot \frac{5(a^2-b^2)}{a^2+b^2}=5 $$

Ответ

$$5$$