Упр.209 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 209 (МГИЭМ)

1. а)

   $$\frac{|3x+1|-7}{x+2}\ge -1$$

   Перенесём $$-1$$ в левую часть:
   $$\frac{|3x+1|-7}{x+2}+1\ge 0$$
   $$\frac{|3x+1|+x-5}{x+2}\ge 0$$

   Рассмотрим случаи по знаку выражения $$3x+1$$.

   1) Если $$3x+1\ge 0$$, то $$|3x+1|=3x+1$$ и
   $$\frac{4x-4}{x+2}\ge 0,$$
   откуда
   $$x\in(-\infty;-2)\cup[1;+\infty).$$
   С учётом условия $$x\ge -\frac13$$ получаем
   $$x\in[1;+\infty).$$

   2) Если $$3x+1<0$$, то $$|3x+1|=-3x-1$$ и
   $$\frac{-2x-6}{x+2}\ge 0,$$
   откуда
   $$x\in(-3;-2).$$
   С учётом условия $$x<-\frac13$$ это множество не меняется.

   Итак,
   $$x\in(-3;-2)\cup[1;+\infty).$$

2. б)

   $$\frac{|6x+3|-11}{x-1}\le 0$$

   Перенесём $$-11$$:
   $$\frac{|6x+3|-11}{x-1}\le 0.$$
   Рассмотрим случаи по знаку $$6x+3$$.

   1) Если $$6x+3\ge 0$$, то $$|6x+3|=6x+3$$ и
   $$\frac{6x-8}{x-1}\le 0.$$
   Решение:
   $$x\in(1;\tfrac43].$$

   2) Если $$6x+3<0$$, то $$|6x+3|=-6x-3$$ и
   $$\frac{-6x-14}{x-1}\le 0.$$
   Решение:
   $$x\in(-\infty;1)\cup[\tfrac73;+\infty).$$

   Объединяя, получаем
   $$x\in(-\infty;1)\cup(1;\tfrac43]\cup[\tfrac73;+\infty).$$

3. в)

   $$\frac{\sqrt{x+6}}{2x-3}<1$$

   Область определения:
   $$x\ge -6,\quad x\ne \frac32.$$

   Перенесём $$1$$ влево:
   $$\frac{\sqrt{x+6}}{2x-3}-1<0$$
   $$\frac{\sqrt{x+6}-(2x-3)}{2x-3}<0.$$

   Рассмотрим случаи:

   1) $$2x-3>0$$. Тогда нужно
   $$\sqrt{x+6}<2x-3,$$
   но правая часть положительна, и после возведения в квадрат получаем
   $$x+6<(2x-3)^2,$$
   что даёт
   $$x\in\left(\frac14;3\right).$$
   С учётом $$x>\frac32$$ получаем
   $$x\in\left(\frac32;3\right).$$

   2) $$2x-3<0$$. Тогда
   $$\sqrt{x+6}>2x-3,$$
   что выполняется при всех $$x\ge -6$$, и с учётом $$x<\frac32$$ получаем
   $$x\in[-6;\frac32).$$

   Итог:
   $$x\in[-6;\tfrac32)\cup(\tfrac32;3).$$

4. г)

   $$\frac{\sqrt{2x-1}}{x-2}<1$$

   Область определения:
   $$x\ge \frac12,\quad x\ne 2.$$

   Перенесём $$1$$ влево:
   $$\frac{\sqrt{2x-1}}{x-2}-1<0$$
   $$\frac{\sqrt{2x-1}-(x-2)}{x-2}<0.$$

   Если $$x<2$$, то $$x-2<0$$, а числитель
   $$\sqrt{2x-1}-(x-2)>0,$$
   значит неравенство выполняется при всех $$x\in\left[\frac12;2\right).$$

   Если $$x>2$$, то нужно
   $$\sqrt{2x-1}<x-2.$$
   Возводим в квадрат:
   $$2x-1<x^2-4x+4$$
   $$x^2-6x+5>0$$
   $$(x-1)(x-5)>0.$$
   С учётом $$x>2$$ получаем
   $$x\in(5;+\infty).$$

   Ответ:
   $$x\in\left[\frac12;2\right)\cup(5;+\infty).$$

5. д)

   $$-x^2+x+8>2|x+1|$$

   Рассмотрим случаи по знаку $$x+1$$.

   1) Если $$x\ge -1$$, то $$|x+1|=x+1$$ и
   $$-x^2+x+8>2x+2,$$
   $$-x^2-x+6>0,$$
   $$x^2+x-6<0,$$
   $$(x+3)(x-2)<0,$$
   откуда
   $$x\in(-3;2).$$
   С учётом $$x\ge -1$$:
   $$x\in[-1;2).$$

   2) Если $$x<-1$$, то $$|x+1|=-x-1$$ и
   $$-x^2+x+8>-2x-2,$$
   $$-x^2+3x+10>0,$$
   $$x^2-3x-10<0,$$
   $$(x-5)(x+2)<0,$$
   откуда
   $$x\in(-2;5).$$
   С учётом $$x<-1$$:
   $$x\in(-2;-1).$$

   Объединяя, получаем
   $$x\in(-2;2).$$

6. е)

   $$-x^2-2x+33>3|x-1|$$

   Рассмотрим случаи по знаку $$x-1$$.

   1) Если $$x\ge 1$$, то $$|x-1|=x-1$$ и
   $$-x^2-2x+33>3x-3,$$
   $$-x^2-5x+36>0,$$
   $$x^2+5x-36<0,$$
   $$(x+9)(x-4)<0,$$
   откуда
   $$x\in(-9;4).$$
   С учётом $$x\ge 1$$:
   $$x\in[1;4).$$

   2) Если $$x<1$$, то $$|x-1|=-x+1$$ и
   $$-x^2-2x+33>-3x+3,$$
   $$-x^2+x+30>0,$$
   $$x^2-x-30<0,$$
   $$(x-6)(x+5)<0,$$
   откуда
   $$x\in(-5;6).$$
   С учётом $$x<1$$:
   $$x\in(-5;1).$$

   Объединяя, получаем
   $$x\in(-5;4).$$

Ответ

а) $$(-3;-2)\cup[1;+\infty)$$;
б) $$(-\infty;1)\cup(1;\tfrac43]\cup[\tfrac73;+\infty)$$;
в) $$[-6;\tfrac32)\cup(\tfrac32;3)$$;
г) $$[\tfrac12;2)\cup(5;+\infty)$$;
д) $$(-2;2)$$;
е) $$(-5;4)$$.