Упр.208 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 208 (ГУУ)

Подробный ответ

а) Область допустимых значений:
$$8-x>0,\quad (x-2)^2>0$$
$$x<8,\quad x\ne 2$$
Значит, $$x\in(-\infty;2)\cup(2;8).$$
Преобразуем неравенство:
$$\frac{\lg(8-x)}{\lg (x-2)^2}\le 1$$
$$\frac{\lg(8-x)-\lg (x-2)^2}{\lg (x-2)^2}\le 0$$
Рассмотрим случаи:
$$\lg(8-x)-\lg (x-2)^2=0 \;\Longleftrightarrow\; 8-x=(x-2)^2$$
$$x^2-3x-4=0,\quad x=-1,\;4$$
Оба корня принадлежат ОДЗ.
Далее:
$$\frac{\lg(8-x)-\lg (x-2)^2}{\lg (x-2)^2}<0$$
равносильно совокупности систем:
$$ \begin{cases} 8-x<(x-2)^2,\\ (x-2)^2>1 \end{cases} \qquad \begin{cases} 8-x>(x-2)^2,\\ (x-2)^2<1 \end{cases} $$
Из первой системы получаем:
$$x<-1 \;\text{или}\; x>4,\qquad |x-2|>1$$
то есть $$x\in(-\infty;1)\cup(4;8).$$
Из второй системы:
$$x\in(-1;4),\qquad |x-2|<1,$$
то есть $$x\in(1;3).$$
С учётом корней уравнения получаем:
$$x\in(-\infty;1)\cup(1;2)\cup(2;3)\cup[4;8).$$
б) Область допустимых значений:
$$2x+9>0,\quad (2x+3)^2>0$$
$$x>-\frac92,\quad x\ne -\frac32$$
Значит, $$x\in\left(-\frac92;-\frac32\right)\cup\left(-\frac32;+\infty\right).$$
Преобразуем неравенство:
$$\frac{\lg(2x+9)}{\lg(2x+3)^2}\le 1$$
$$\frac{\lg(2x+9)-\lg(2x+3)^2}{\lg(2x+3)^2}\le 0$$
Решим уравнение:
$$\lg(2x+9)=\lg(2x+3)^2$$
$$2x+9=(2x+3)^2$$
$$4x^2+10x=0$$
$$x=-\frac52,\;0$$
Оба корня принадлежат ОДЗ.
Неравенство равносильно совокупности систем:
$$ \begin{cases} 2x+9<(2x+3)^2,\\ (2x+3)^2>1 \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x+9>(2x+3)^2,\\ (2x+3)^2<1 \end{cases} $$
Первая система даёт:
$$x<-\frac52 \;\text{или}\; x>0,\qquad |2x+3|>1,$$
откуда $$x\in\left(-\frac92;-\frac52\right)\cup[0;+\infty).$$
Вторая система даёт:
$$x\in\left(-\frac52;0\right),\qquad |2x+3|<1,$$
то есть $$x\in(-2;-1).$$
С учётом корней уравнения получаем:
$$x\in\left(-\frac92;-\frac52\right)\cup\left[-\frac52;-2\right)\cup(-2;-1)\cup[-1;+\infty).$$
в) Область допустимых значений:
$$\frac{x}{2}+9>0,\quad \left(\frac{x}{2}+3\right)^2>0$$
$$x>-18,\quad x\ne -6$$
Значит, $$x\in(-18;-6)\cup(-6;+\infty).$$
Преобразуем неравенство:
$$\frac{\lg\left(\frac{x}{2}+9\right)}{\lg\left(\frac{x}{2}+3\right)^2}\le 1$$
$$\frac{\lg\left(\frac{x}{2}+9\right)-\lg\left(\frac{x}{2}+3\right)^2}{\lg\left(\frac{x}{2}+3\right)^2}\le 0$$
Решим уравнение:
$$\lg\left(\frac{x}{2}+9\right)=\lg\left(\frac{x}{2}+3\right)^2$$
$$\frac{x}{2}+9=\left(\frac{x}{2}+3\right)^2$$
$$x=-10,\;0$$
Оба корня принадлежат ОДЗ.
Неравенство равносильно совокупности систем:
$$ \begin{cases} \frac{x}{2}+9<\left(\frac{x}{2}+3\right)^2,\\ \left(\frac{x}{2}+3\right)^2>1 \end{cases} \qquad \begin{cases} \frac{x}{2}+9>\left(\frac{x}{2}+3\right)^2,\\ \left(\frac{x}{2}+3\right)^2<1 \end{cases} $$
Первая система даёт:
$$x<-10 \;\text{или}\; x>0,\qquad \left|\frac{x}{2}+3\right|>1,$$
откуда $$x\in(-18;-10)\cup[0;+\infty).$$
Вторая система даёт:
$$x\in(-10;0),\qquad \left|\frac{x}{2}+3\right|<1,$$
то есть $$x\in(-8;-4).$$
С учётом корней уравнения получаем:
$$x\in(-18;-10)\cup(-8;-6)\cup(-6;-4)\cup[0;+\infty).$$
г) Область допустимых значений:
$$\frac{x}{3}+5>0,\quad \left(\frac{x}{3}-1\right)^2>0$$
$$x>-15,\quad x\ne 3$$
Значит, $$x\in(-15;3)\cup(3;+\infty).$$
Преобразуем неравенство:
$$\frac{\lg\left(\frac{x}{3}+5\right)}{\lg\left(\frac{x}{3}-1\right)^2}\le 1$$
$$\frac{\lg\left(\frac{x}{3}+5\right)-\lg\left(\frac{x}{3}-1\right)^2}{\lg\left(\frac{x}{3}-1\right)^2}\le 0$$
Решим уравнение:
$$\lg\left(\frac{x}{3}+5\right)=\lg\left(\frac{x}{3}-1\right)^2$$
$$\frac{x}{3}+5=\left(\frac{x}{3}-1\right)^2$$
$$x=-3,\;12$$
Оба корня принадлежат ОДЗ.
Неравенство равносильно совокупности систем:
$$ \begin{cases} \frac{x}{3}+5<\left(\frac{x}{3}-1\right)^2,\\ \left(\frac{x}{3}-1\right)^2>1 \end{cases} \qquad \begin{cases} \frac{x}{3}+5>\left(\frac{x}{3}-1\right)^2,\\ \left(\frac{x}{3}-1\right)^2<1 \end{cases} $$
Первая система даёт:
$$x<-3 \;\text{или}\; x>12,\qquad \left|\frac{x}{3}-1\right|>1,$$
откуда $$x\in(-15;-3)\cup[12;+\infty).$$
Вторая система даёт:
$$x\in(-3;12),\qquad \left|\frac{x}{3}-1\right|<1,$$
то есть $$x\in(0;6).$$
С учётом корней уравнения получаем:
$$x\in(-15;-3)\cup(0;3)\cup(3;6)\cup[12;+\infty).$$