Упр.207 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- а) $$3 \cdot 4^{\sqrt{2-x}}+3<10\cdot 2^{\sqrt{2-x}}$$; б) $$2\cdot 9^{\sqrt{3-x}}+2<5\cdot 3^{\sqrt{3-x}}$$.
а) Рассмотрим неравенство
$$3\cdot 4^{\sqrt{2-x}}+3<10\cdot 2^{\sqrt{2-x}}.$$
Область определения:
$$2-x\ge 0,\qquad x\le 2.$$
Сделаем замену:
$$t=2^{\sqrt{2-x}},\qquad t>0.$$
Тогда
$$4^{\sqrt{2-x}}=\left(2^2\right)^{\sqrt{2-x}}=t^2,$$
и неравенство принимает вид
$$3t^2+3<10t,$$
$$3t^2-10t+3<0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=100-36=64,$$
$$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6},\qquad t_1=\frac13,\quad t_2=3.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$t\in\left(\frac13;3\right).$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\frac13<2^{\sqrt{2-x}}<3.$$
Левая часть выполняется при всех $$x\le 2$$, так как $$2^{\sqrt{2-x}}\ge 1>\frac13.$$
Из правой части получаем
$$2^{\sqrt{2-x}}<3,$$
$$\sqrt{2-x}<\log_2 3,$$
$$2-x<\log_2^2 3,$$
$$x>2-\log_2^2 3.$$
С учётом области определения:
$$x\in\left(2-\log_2^2 3;\,2\right].$$
б) Рассмотрим неравенство
$$2\cdot 9^{\sqrt{3-x}}+2<5\cdot 3^{\sqrt{3-x}}.$$
Область определения:
$$3-x\ge 0,\qquad x\le 3.$$
Сделаем замену:
$$t=3^{\sqrt{3-x}},\qquad t>0.$$
Тогда
$$9^{\sqrt{3-x}}=\left(3^2\right)^{\sqrt{3-x}}=t^2,$$
и получаем
$$2t^2+2<5t,$$
$$2t^2-5t+2<0.$$
Найдём корни:
$$D=25-16=9,$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4},\qquad t_1=\frac12,\quad t_2=2.$$
Следовательно,
$$t\in\left(\frac12;2\right).$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\frac12<3^{\sqrt{3-x}}<2.$$
Левая часть выполняется при всех $$x\le 3$$, так как $$3^{\sqrt{3-x}}\ge 1>\frac12.$$
Из правой части получаем
$$3^{\sqrt{3-x}}<2,$$
$$\sqrt{3-x}<\log_3 2,$$
$$3-x<\log_3^2 2,$$
$$x>3-\log_3^2 2.$$
С учётом области определения:
$$x\in\left(3-\log_3^2 2;\,3\right].$$
Ответ
а) $$\left(2-\log_2^2 3;\,2\right]$$
б) $$\left(3-\log_3^2 2;\,3\right]$$
