Упр.206 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) 3x+3|x| < =3.
а) Рассмотрим неравенство $$2^x+2^{|x|}\ge 2\sqrt2.$$
По определению модуля получаем два случая:
$$ \begin{cases} 2^x+2^x\ge 2\sqrt2, & x\ge 0,\\ 2^x+2^{-x}\ge 2\sqrt2, & x<0. \end{cases} $$
1) При $$x\ge 0$$ имеем
$$ 2\cdot 2^x\ge 2\sqrt2 \\ 2^x\ge \sqrt2=2^{1/2} \\ x\ge \frac12. $$
2) При $$x<0$$ положим $$t=2^x$$. Тогда $$0<t<1$$ и
$$ 2^x+2^{-x}\ge 2\sqrt2 \iff t+\frac1t\ge 2\sqrt2 \iff t^2-2\sqrt2\,t+1\ge 0. $$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$ D=(2\sqrt2)^2-4=4,\qquad t_{1,2}=\frac{2\sqrt2\pm 2}{2}=\sqrt2\pm 1. $$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$ t\le \sqrt2-1 \quad \text{или} \quad t\ge \sqrt2+1. $$
Но при $$x<0$$ выполняется $$0<2^x<1,$$ значит подходит только
$$ 2^x\le \sqrt2-1. $$
Так как функция $$2^x$$ возрастает, получаем
$$ x\le \log_2(\sqrt2-1). $$
С учётом условия $$x<0$$ получаем
$$ x\in(-\infty;\log_2(\sqrt2-1)]. $$
Объединяя оба случая, имеем
$$ x\in(-\infty;\log_2(\sqrt2-1)]\cup\left[\frac12;+\infty\right). $$
б) Рассмотрим неравенство $$3^x+3^{|x|}\le 3.$$
По определению модуля:
$$ \begin{cases} 3^x+3^x\le 3, & x\ge 0,\\ 3^x+3^{-x}\le 3, & x<0. \end{cases} $$
1) При $$x\ge 0$$:
$$ 2\cdot 3^x\le 3 \\ 3^x\le \frac32 \\ x\le \log_3\frac32. $$
С учётом $$x\ge 0$$ получаем
$$ x\in\left[0;\log_3\frac32\right]. $$
2) При $$x<0$$ положим $$t=3^x$$. Тогда $$0<t<1$$ и
$$ 3^x+3^{-x}\le 3 \iff t+\frac1t\le 3 \iff t^2-3t+1\le 0. $$
Корни уравнения $$t^2-3t+1=0$$:
$$ D=9-4=5,\qquad t_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt5}{2}. $$
Так как парабола направлена вверх, то
$$ \frac{3-\sqrt5}{2}\le t\le \frac{3+\sqrt5}{2}. $$
С учётом $$0<t<1$$ остаётся
$$ \frac{3-\sqrt5}{2}\le 3^x<1. $$
Так как функция $$3^x$$ возрастает, получаем
$$ \log_3\frac{3-\sqrt5}{2}\le x<0. $$
Объединяя оба случая, имеем
$$ x\in\left[\log_3\frac{3-\sqrt5}{2};\log_3\frac32\right]. $$
Ответ
а) $$x\in(-\infty;\log_2(\sqrt2-1)]\cup\left[\frac12;+\infty\right).$$
б) $$x\in\left[\log_3\frac{3-\sqrt5}{2};\log_3\frac32\right].$$
