Упр.204 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 204
а) Рассмотрим неравенство
$$\frac{|x-4|-\sqrt{x-2}}{4\sqrt{10-x}+x-13}\ge 0.$$
Область определения:
$$x-2\ge 0,\qquad 10-x\ge 0,$$
откуда
$$x\in[2;10].$$
Решаем неравенство по знакам числителя и знаменателя. Получаем два случая:
$$ \begin{cases} x-4-\sqrt{x-2}\ge 0,\\ 4\sqrt{10-x}+x-13>0 \end{cases} \qquad \text{или} \qquad \begin{cases} x-4-\sqrt{x-2}\le 0,\\ 4\sqrt{10-x}+x-13<0 \end{cases} $$
1) Пусть
$$x-4-\sqrt{x-2}\ge 0.$$
Тогда обязательно $$x\ge 4,$$ и можно возвести в квадрат:
$$ \begin{cases} \sqrt{x-2}\le x-4,\\ x-2\le (x-4)^2 \end{cases} $$
Отсюда
$$x^2-9x+18\ge 0,$$
значит
$$x\in(-\infty;3]\cup[6;+\infty).$$
С учётом $$x\ge 4$$ получаем
$$x\in[6;+\infty).$$
Проверяем второе неравенство:
$$4\sqrt{10-x}+x-13>0.$$
На отрезке $$[6;10]$$ оно выполняется при $$x\in[6;9).$$
2) Пусть
$$x-4-\sqrt{x-2}\le 0.$$
Тогда
$$x^2-9x+18\le 0,$$
то есть
$$x\in[3;6].$$
Из условия $$4\sqrt{10-x}+x-13<0$$ получаем
$$x\in(1;9).$$
С учётом области определения и знака числителя остаётся
$$x\in[2;3].$$
Корень $$x=3$$ подходит, так как при нём числитель равен нулю.
Итак,
$$x\in[2;3]\cup[6;9).$$
б) Рассмотрим неравенство
$$\frac{x-11+5\sqrt{7-x}}{|x-1|-\sqrt{x+1}}\le 0.$$
Область определения:
$$7-x\ge 0,\qquad x+1\ge 0,$$
то есть
$$x\in[-1;7].$$
Числитель:
$$x-11+5\sqrt{7-x}=0$$
даёт
$$5\sqrt{7-x}=11-x.$$
Возведём в квадрат:
$$25(7-x)=(11-x)^2,$$
$$x^2+3x-54=0,$$
$$x=-9,\;6.$$
С учётом области определения подходит только $$x=6.$$
Знаменатель:
$$|x-1|-\sqrt{x+1}=0$$
даёт
$$|x-1|=\sqrt{x+1}.$$
При $$x\ge 1$$ имеем $$x-1=\sqrt{x+1},$$ откуда
$$x^2-3x=0,$$
$$x=0,\;3.$$
С учётом $$x\ge 1$$ получаем $$x=3.$$
Значит, знаменатель обращается в нуль при $$x=3,$$ и эту точку нужно исключить.
Проверка знаков на промежутках области определения даёт решение
$$x\in[-1;3)\cup[6;7].$$
Ответ
а) $$x\in[2;3]\cup[6;9).$$
б) $$x\in[-1;3)\cup[6;7].$$
