Упр.203 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) (МГУ, биол. ф-т)

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{\sqrt{2x^2-5x-3}}{6+3\sqrt{3x}-2x^2}\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3).$$

Знаменатель преобразуем так:

$$6+3\sqrt{3x}-2x^2=-\bigl(2x^2-3\sqrt{3x}-6\bigr).$$

Уравнение

$$6+3\sqrt{3x}-2x^2=0$$

имеет корни

$$x=-\frac{\sqrt3}{2},\quad x=2\sqrt3,$$

поэтому

$$6+3\sqrt{3x}-2x^2=-(2x+\sqrt3)(x-2\sqrt3).$$

Тогда неравенство равносильно

$$\frac{\sqrt{(2x+1)(x-3)}}{-(2x+\sqrt3)(x-2\sqrt3)}\ge 0,$$

или

$$\frac{\sqrt{(2x+1)(x-3)}}{(2x+\sqrt3)(x-2\sqrt3)}\le 0.$$

Так как числитель неотрицателен, то решение получается из случаев:

$$\sqrt{(2x+1)(x-3)}=0$$

или

$$\sqrt{(2x+1)(x-3)}>0,\qquad (2x+\sqrt3)(x-2\sqrt3)<0.$$

Из первого случая:

$$ (2x+1)(x-3)=0 \Rightarrow x=-\frac12 \text{ или } x=3.$$

Из второго случая:

$$-\frac{\sqrt3}{2}

и с учётом знака знаменателя получаем

$$x\in\left(-\frac{\sqrt3}{2},-\frac12\right)\cup[3,2\sqrt3).$$

Итак,

$$x\in\left(-\frac{\sqrt3}{2},-\frac12\right)\cup[3,2\sqrt3).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{\sqrt{x^2+5x-84}}{x-7}\ge 0.$$

Разложим подкоренное выражение:

$$x^2+5x-84=(x+12)(x-7).$$

Тогда

$$\frac{\sqrt{(x+12)(x-7)}}{x-7}\ge 0.$$

Так как числитель неотрицателен, то дробь неотрицательна, когда

$$\sqrt{(x+12)(x-7)}=0$$

или

$$\sqrt{(x+12)(x-7)}>0,\qquad x-7>0.$$

Из первого случая:

$$ (x+12)(x-7)=0 \Rightarrow x=-12 \text{ или } x=7.$$

Но при $x=7$ знаменатель равен нулю, поэтому этот корень не подходит.

Из второго случая:

$$ (x+12)(x-7)>0,\qquad x>7.$$

Отсюда

$$x\in(7,+\infty).$$

С учётом точки $x=-12$ получаем

$$x\in\{-12\}\cup(7,+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac{\sqrt3}{2},-\frac12\right)\cup[3,2\sqrt3).$$

б) $$x\in\{-12\}\cup(7,+\infty).$$