Упр.202 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) (9х2 — 9х + 2) * log2(3х) > = 0;
б) (20х — 25х2 — 3) * log3(5х) < = 0.

а) Рассмотрим неравенство

$$\left(9x^2-9x+2\right)\log_2(3x)\ge 0.$$

Область определения: $$3x>0,$$ то есть $$x>0.$$

Решим квадратное уравнение

$$9x^2-9x+2=0.$$

$$D=(-9)^2-4\cdot 9\cdot 2=81-72=9,$$

$$x_{1,2}=\frac{9\pm 3}{18}.$$

Отсюда

$$x_1=\frac13,\qquad x_2=\frac23.$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то

$$9x^2-9x+2>0 \quad \text{при} \quad x\in\left(-\infty;\frac13\right)\cup\left(\frac23;+\infty\right),$$

$$9x^2-9x+2<0 \quad \text{при} \quad x\in\left(\frac13;\frac23\right).$$

Логарифм:

$$\log_2(3x)>0 \iff 3x>1 \iff x>\frac13,$$

$$\log_2(3x)<0 \iff 0<3x<1 \iff 0<x<\frac13.$$

Теперь учитываем знаки множителей:

1) $$9x^2-9x+2>0$$ и $$\log_2(3x)>0$$, тогда

$$x\in\left(\frac23;+\infty\right).$$

2) $$9x^2-9x+2<0$$ и $$\log_2(3x)<0$$, тогда

$$x\in\left(\frac13;\frac23\right)\cap\left(0;\frac13\right)=\varnothing.$$

Кроме того, при $$x=\frac13$$ произведение равно нулю, так как $$\log_2(1)=0.$$

Итак,

$$x\in\left[\frac13;+\infty\right).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\left(20x-25x^2-3\right)\log_3(5x)\le 0.$$

Область определения: $$5x>0,$$ то есть $$x>0.$$

Решим уравнение

$$20x-25x^2-3=0.$$

$$25x^2-20x+3=0.$$

$$D=(-20)^2-4\cdot 25\cdot 3=400-300=100,$$

$$x_{1,2}=\frac{20\pm 10}{50}.$$

Получаем

$$x_1=\frac15,\qquad x_2=\frac35.$$

Так как

$$20x-25x^2-3=-(25x^2-20x+3),$$

то

$$20x-25x^2-3>0 \quad \text{при} \quad x\in\left(\frac15;\frac35\right),$$

$$20x-25x^2-3<0 \quad \text{при} \quad x\in\left(-\infty;\frac15\right)\cup\left(\frac35;+\infty\right).$$

Логарифм:

$$\log_3(5x)>0 \iff 5x>1 \iff x>\frac15,$$

$$\log_3(5x)<0 \iff 0<5x<1 \iff 0<x<\frac15.$$

Для произведения $$\le 0$$ подходят случаи:

1) $$20x-25x^2-3>0$$ и $$\log_3(5x)<0,$$ тогда

$$x\in\left(\frac15;\frac35\right)\cap\left(0;\frac15\right)=\varnothing.$$

2) $$20x-25x^2-3<0$$ и $$\log_3(5x)>0,$$ тогда

$$x\in\left(\frac35;+\infty\right)\cap\left(\frac15;+\infty\right)=\left(\frac35;+\infty\right).$$

Также при $$x=\frac15$$ произведение равно нулю, так как $$\log_3(1)=0.$$

Следовательно,

$$x\in\left[\frac15;\frac15\right]\cup\left(\frac35;+\infty\right).$$

Ответ

а) $$x\in\left[\frac13;+\infty\right);$$ б) $$x\in\left[\frac15;\frac15\right]\cup\left(\frac35;+\infty\right).$$