Упр.201 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 201 (МГУ, геол. ф-т).

а)

Рассмотрим неравенство

$$\frac{|x-3|+2}{|2x-3|-5}\le 0.$$

Числитель $$|x-3|+2>0$$ при всех $$x$$, значит дробь не может быть положительной или равной нулю. Для выполнения неравенства нужно, чтобы знаменатель был отрицательным:

$$|2x-3|-5<0.$$

Тогда

$$|2x-3|<5,$$

откуда

$$-5<2x-3<5.$$

Прибавим $$3$$:

$$-2<2x<8.$$

Разделим на $$2$$:

$$-1<x<4.$$

б)

Рассмотрим неравенство

$$\frac{\frac{1}{x-1}-1}{1-\frac{1}{x-7}}\ge 0.$$

Преобразуем числитель и знаменатель:

$$\frac{1}{x-1}-1=\frac{1-(x-1)}{x-1}=\frac{2-x}{x-1},$$

$$1-\frac{1}{x-7}=\frac{x-7-1}{x-7}=\frac{x-8}{x-7}.$$

Тогда

$$\frac{\frac{2-x}{x-1}}{\frac{x-8}{x-7}}=\frac{(2-x)(x-7)}{(x-1)(x-8)}\ge 0.$$

Область допустимых значений:

$$x\ne 1,\quad x\ne 7,\quad x\ne 8.$$

Перепишем числитель:

$$\frac{(x-2)(x-7)}{(x-1)(x-8)}\le 0.$$

Критические точки: $$1,\ 2,\ 7,\ 8.$$ По методу интервалов получаем:

$$x\in(1;2]\cup(7;8).$$

Ответ

а) $$-1<x<4$$

б) $$x\in(1;2]\cup(7;8)$$