Упр.200 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 200

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{(2x-5)\left(32^{\frac1x}-4\right)}{3^x-8}\ge 0.$$

Так как $$x^2+4x+20>0$$ при всех $$x$$, то это неравенство равносильно

$$\frac{(2x-5)\left(32^{\frac1x}-4\right)}{3^x-8}\ge 0.$$

Найдём нули числителя и знаменателя:

$$2x-5=0 \Rightarrow x=\frac52,$$

$$32^{\frac1x}-4=0 \Rightarrow 32^{\frac1x}=4 \Rightarrow 2^{\frac5x}=2^2 \Rightarrow \frac5x=2 \Rightarrow x=\frac52,$$

$$3^x-8=0 \Rightarrow 3^x=8 \Rightarrow x=\log_3 8.$$

Итак, критические точки: $$x=\log_3 8$$ и $$x=\frac52.$$

Сравним их:

$$\frac52=\log_3 3^{\frac52}=\log_3 3^{2.5},$$

а так как $$8<3^{2.5},$$ то

$$\log_3 8<\frac52.$$

По методу интервалов получаем:

$$\frac{(2x-5)\left(32^{\frac1x}-4\right)}{3^x-8}\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\in(0;\log_3 8).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{(2x-3)\left(27^{\frac1x}-9\right)}{2^x-5}\le 0.$$

Так как $$x^2-2x+10>0$$ при всех $$x$$, то неравенство равносильно

$$\frac{(2x-3)\left(27^{\frac1x}-9\right)}{2^x-5}\le 0.$$

Найдём нули числителя и знаменателя:

$$2x-3=0 \Rightarrow x=\frac32,$$

$$27^{\frac1x}-9=0 \Rightarrow 27^{\frac1x}=9 \Rightarrow 3^{\frac3x}=3^2 \Rightarrow \frac3x=2 \Rightarrow x=\frac32,$$

$$2^x-5=0 \Rightarrow 2^x=5 \Rightarrow x=\log_2 5.$$

Критические точки: $$x=\frac32$$ и $$x=\log_2 5.$$

Сравним их:

$$\frac32=\log_2 2^{\frac32}=\log_2 2^{1.5},$$

а так как $$5>2^{1.5},$$ то

$$\log_2 5>\frac32.$$

По методу интервалов получаем:

$$\frac{(2x-3)\left(27^{\frac1x}-9\right)}{2^x-5}\le 0 \quad \Rightarrow \quad x\in(-\infty;0)\cup(\log_2 5;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(0;\log_3 8)$$

б) $$x\in(-\infty;0)\cup(\log_2 5;+\infty)$$