Упр.200 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) Рассмотрим неравенство
$$\frac{(2x-5)\left(32^{\frac1x}-4\right)}{3^x-8}\ge 0.$$
Так как $$x^2+4x+20>0$$ при всех $$x$$, то это неравенство равносильно
$$\frac{(2x-5)\left(32^{\frac1x}-4\right)}{3^x-8}\ge 0.$$
Найдём нули числителя и знаменателя:
$$2x-5=0 \Rightarrow x=\frac52,$$
$$32^{\frac1x}-4=0 \Rightarrow 32^{\frac1x}=4 \Rightarrow 2^{\frac5x}=2^2 \Rightarrow \frac5x=2 \Rightarrow x=\frac52,$$
$$3^x-8=0 \Rightarrow 3^x=8 \Rightarrow x=\log_3 8.$$
Итак, критические точки: $$x=\log_3 8$$ и $$x=\frac52.$$
Сравним их:
$$\frac52=\log_3 3^{\frac52}=\log_3 3^{2.5},$$
а так как $$8<3^{2.5},$$ то
$$\log_3 8<\frac52.$$
По методу интервалов получаем:
$$\frac{(2x-5)\left(32^{\frac1x}-4\right)}{3^x-8}\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\in(0;\log_3 8).$$
б) Рассмотрим неравенство
$$\frac{(2x-3)\left(27^{\frac1x}-9\right)}{2^x-5}\le 0.$$
Так как $$x^2-2x+10>0$$ при всех $$x$$, то неравенство равносильно
$$\frac{(2x-3)\left(27^{\frac1x}-9\right)}{2^x-5}\le 0.$$
Найдём нули числителя и знаменателя:
$$2x-3=0 \Rightarrow x=\frac32,$$
$$27^{\frac1x}-9=0 \Rightarrow 27^{\frac1x}=9 \Rightarrow 3^{\frac3x}=3^2 \Rightarrow \frac3x=2 \Rightarrow x=\frac32,$$
$$2^x-5=0 \Rightarrow 2^x=5 \Rightarrow x=\log_2 5.$$
Критические точки: $$x=\frac32$$ и $$x=\log_2 5.$$
Сравним их:
$$\frac32=\log_2 2^{\frac32}=\log_2 2^{1.5},$$
а так как $$5>2^{1.5},$$ то
$$\log_2 5>\frac32.$$
По методу интервалов получаем:
$$\frac{(2x-3)\left(27^{\frac1x}-9\right)}{2^x-5}\le 0 \quad \Rightarrow \quad x\in(-\infty;0)\cup(\log_2 5;+\infty).$$
Ответ
а) $$x\in(0;\log_3 8)$$
б) $$x\in(-\infty;0)\cup(\log_2 5;+\infty)$$
