Упр.20 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на $$2$$ даёт остаток $$1$$; при делении на $$19$$ даёт остаток $$3$$, делится нацело на $$7$$.

Пусть искомое число равно $$n$$. Тогда по условию

$$n=2m+1,\quad n=19p+3,\quad n=7k.$$

Из равенства $$n=19p+3$$ и делимости на $$7$$ получаем:

$$7k=19p+3,$$
$$k=\frac{19p+3}{7}=\frac{14p+5p+3}{7}=2p+\frac{5p+3}{7}.$$

Число $$\frac{5p+3}{7}$$ должно быть целым, значит

$$5p+3 \equiv 0 \pmod 7.$$

Так как $$5 \equiv -2 \pmod 7$$, то

$$-2p+3 \equiv 0 \pmod 7,$$
$$2p \equiv 3 \pmod 7.$$

Подходит $$p=12$$, так как

$$5\cdot 12+3=63,$$
$$\frac{63}{7}=9.$$

Тогда

$$k=2\cdot 12+9=33,$$
$$n=7\cdot 33=231.$$

Проверим: $$231$$ — нечётное число, $$231=19\cdot 12+3$$, и $$231$$ делится на $$7$$.

Ответ

$$231$$