Упр.20 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 20 (МГУ, ФНМ). Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 дает остаток 1; при делении на 19 дает остаток 3, делится нацело на 7. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 povtor/20 118

Пусть искомое число равно $$n$$. Тогда по условию

$$ n=2m+1,\quad n=19p+3,\quad n=7k. $$

Из равенства $$n=19p+3$$ и делимости на $$7$$ получаем:

$$ 7k=19p+3, $$
$$ k=\frac{19p+3}{7}=\frac{14p+5p+3}{7}=2p+\frac{5p+3}{7}. $$

Число $$\frac{5p+3}{7}$$ должно быть целым, значит

$$ 5p+3 \equiv 0 \pmod 7. $$

Так как $$5 \equiv -2 \pmod 7$$, то

$$ -2p+3 \equiv 0 \pmod 7, $$
$$ 2p \equiv 3 \pmod 7. $$

Подходит $$p=12$$, так как

$$ 5\cdot 12+3=63, $$
$$ \frac{63}{7}=9. $$

Тогда

$$ k=2\cdot 12+9=33, $$
$$ n=7\cdot 33=231. $$

Проверим: $$231$$ — нечётное число, $$231=19\cdot 12+3$$, и $$231$$ делится на $$7$$.

Ответ

$$231$$