Упр.2.9 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
2.9. а) f(x) = -x5, a=0;
б) f(x) = x4, a=1;
в) f(x) = sin(x+пи/3), a=пи/6;
г) f(x) = cos(x-пи/6), a=пи/3.
$$f(x)=-x^5,\quad a=0$$
Функция непрерывна при $$x=0$$, поэтому левый и правый пределы равны значению функции в этой точке:
$$\lim_{x\to 0-}(-x^5)=0,\qquad \lim_{x\to 0+}(-x^5)=0.$$
Следовательно,
$$\lim_{x\to 0}(-x^5)=0.$$
$$f(x)=x^4,\quad a=1$$
Функция непрерывна при $$x=1$$, значит
$$\lim_{x\to 1-}x^4=1,\qquad \lim_{x\to 1+}x^4=1.$$
Следовательно,
$$\lim_{x\to 1}x^4=1.$$
$$f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right),\quad a=\frac{\pi}{6}$$
Функция непрерывна, поэтому
$$\lim_{x\to \frac{\pi}{6}-0}\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1,$$
$$\lim_{x\to \frac{\pi}{6}+0}\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)=1.$$
Следовательно,
$$\lim_{x\to \frac{\pi}{6}}\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1.$$
$$f(x)=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right),\quad a=\frac{\pi}{3}$$
Функция непрерывна, значит
$$\lim_{x\to \frac{\pi}{3}-0}\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$
$$\lim_{x\to \frac{\pi}{3}+0}\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Следовательно,
$$\lim_{x\to \frac{\pi}{3}}\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Ответ
а) $$0$$; б) $$1$$; в) $$1$$; г) $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$.
