Упр.2.9 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 2.9. Найдите предел функции $$y=f(x)$$ при $$x\to a$$, используя понятия левого и правого пределов, если:
   а) $$f(x)=-x^5,\quad a=0$$;
   б) $$f(x)=x^4,\quad a=1$$;
   в) $$f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right),\quad a=\frac{\pi}{6}$$;
   г) $$f(x)=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right),\quad a=\frac{\pi}{3}$$.

1. $$f(x)=-x^5,\quad a=0$$

   Функция непрерывна при $$x=0$$, поэтому левый и правый пределы равны значению функции в этой точке:

   $$\lim_{x\to 0-}(-x^5)=0,\qquad \lim_{x\to 0+}(-x^5)=0.$$

   Следовательно,

   $$\lim_{x\to 0}(-x^5)=0.$$

2. $$f(x)=x^4,\quad a=1$$

   Функция непрерывна при $$x=1$$, значит

   $$\lim_{x\to 1-}x^4=1,\qquad \lim_{x\to 1+}x^4=1.$$

   Следовательно,

   $$\lim_{x\to 1}x^4=1.$$

3. $$f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right),\quad a=\frac{\pi}{6}$$

   Функция непрерывна, поэтому

   $$\lim_{x\to \frac{\pi}{6}-0}\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1,$$

   $$\lim_{x\to \frac{\pi}{6}+0}\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)=1.$$

   Следовательно,

   $$\lim_{x\to \frac{\pi}{6}}\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1.$$

4. $$f(x)=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right),\quad a=\frac{\pi}{3}$$

   Функция непрерывна, значит

   $$\lim_{x\to \frac{\pi}{3}-0}\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$

   $$\lim_{x\to \frac{\pi}{3}+0}\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Следовательно,

   $$\lim_{x\to \frac{\pi}{3}}\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$1$$; в) $$1$$; г) $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$.