Упр.2.6 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 2.6. Найдите левый и правый пределы функции $$y=f(x)$$ при $$x\to a$$, если:
   а) $$f(x)=x^3$$, $$a=1$$;
   б) $$f(x)=x^{-2}$$, $$a=\frac{1}{2}$$;
   в) $$f(x)=\sin x$$, $$a=\pi$$;
   г) $$f(x)=\cos x$$, $$a=\frac{\pi}{2}$$.

1. $$f(x)=x^3,\quad a=1$$

   Функция непрерывна, поэтому

   $$\lim_{x\to 1-0}x^3=1^3=1,\qquad \lim_{x\to 1+0}x^3=1^3=1.$$

2. $$f(x)=x^{-2},\quad a=\frac12$$

   Функция непрерывна при $$x\ne 0$$, значит

   $$\lim_{x\to \frac12-0}x^{-2}=\left(\frac12\right)^{-2}=4,\qquad \lim_{x\to \frac12+0}x^{-2}=\left(\frac12\right)^{-2}=4.$$

3. $$f(x)=\sin x,\quad a=\pi$$

   Синус непрерывен, поэтому

   $$\lim_{x\to \pi-0}\sin x=\sin \pi=0,\qquad \lim_{x\to \pi+0}\sin x=\sin \pi=0.$$

4. $$f(x)=\cos x,\quad a=\frac{\pi}{2}$$

   Косинус непрерывен, значит

   $$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-0}\cos x=\cos \frac{\pi}{2}=0,\qquad \lim_{x\to \frac{\pi}{2}+0}\cos x=\cos \frac{\pi}{2}=0.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$4$$; в) $$0$$; г) $$0$$.