Упр.2.5 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$\lim_{x\to+\infty}(-1)^{[x]}x^3$$;
б) $$\lim_{x\to-\infty}(-1)^{[x]}x^3$$;
в) $$\lim_{x\to 0}\frac{(-1)^{[1/x]}}{x}$$;
г) $$\lim_{x\to 0}\frac{(-1)^{[1/x]}}{x^2}$$;
д) $$\lim_{x\to+\infty}(-2)^{[x]}$$;
е) $$\lim_{x\to+\infty}(-\pi)^{[x]}$$.

Подробный ответ

Используем свойство целой части: если $$x \to +\infty,$$ то $$[x] \to +\infty,$$ а если $$x \to -\infty,$$ то $$[x] \to -\infty.$$

Тогда для степеней с основанием по модулю больше 1 модуль выражения стремится к бесконечности, а знак определяется чётностью целой части.

$$\lim_{x\to +\infty}(-1)^{[x]}x^3$$
Так как $$x^3 \to +\infty,$$ а множитель $$(-1)^{[x]}$$ принимает значения $$\pm 1,$$ то
$$\left|(-1)^{[x]}x^3\right|=x^3\to +\infty.$$
Следовательно, предел не существует: при чётных $$[x]$$ выражение стремится к $$+\infty,$$ при нечётных — к $$-\infty.$$
$$\lim_{x\to -\infty}(-1)^{[x]}x^3$$
Здесь $$x^3\to -\infty,$$ а знак $$(-1)^{[x]}$$ снова зависит от чётности $$[x].$$ Поэтому
$$\left|(-1)^{[x]}x^3\right|=|x|^3\to +\infty,$$
и предел не существует: возможны значения $$+\infty$$ и $$-\infty.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{(-1)^{[1/x]}}{x}$$
При $$x\to 0+$$ имеем $$\frac1x\to +\infty,$$ а при $$x\to 0-$$ имеем $$\frac1x\to -\infty.$$ Числитель равен $$\pm 1,$$ поэтому
$$\left|\frac{(-1)^{[1/x]}}{x}\right|=\frac1{|x|}\to +\infty.$$
Знак зависит от чётности $$\left[\frac1x\right],$$ поэтому предел не существует.
$$\lim_{x\to 0}\frac{(-1)^{[1/x]}}{x^2}$$
Так как $$x^2\to 0+,$$ то
$$\left|\frac{(-1)^{[1/x]}}{x^2}\right|=\frac1{x^2}\to +\infty.$$
Следовательно, предел не существует: при разных последовательностях, стремящихся к нулю, знак выражения может быть разным.
$$\lim_{x\to +\infty}(-2)^{[x]}$$
Если $$[x]$$ чётное, то $$(-2)^{[x]}=2^{[x]}\to +\infty,$$ если нечётное — $$(-2)^{[x]}=-2^{[x]}\to -\infty.$$
Предел не существует.
$$\lim_{x\to +\infty}(-\pi)^{[x]}$$
Аналогично, при чётном $$[x]$$ получаем $$\pi^{[x]}\to +\infty,$$ при нечётном — $$-\pi^{[x]}\to -\infty.$$
Предел не существует.