Упр.2.41 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- Можно ли доопределить функцию $$f(x)$$ в точке $$x_0$$ (в точках $$x_k$$) так, чтобы новая функция стала непрерывной на интервале $$(-\infty;+\infty)$$? Если да, то как это сделать?
а) $$f(x)=\frac{x^2-5x+4}{x-1},\quad x_0=1$$;
б) $$f(x)=\frac{x^2-4}{x+2},\quad x_0=-2$$;
в) $$f(x)=\frac{12-x}{x},\quad x_0=0$$;
г) $$f(x)=\frac{x^2-1}{x-2},\quad x_0=2$$;
д) $$f(x)=\cos x\,\operatorname{tg}x,\quad x_k=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$;
е) $$f(x)=\sin x\,\operatorname{ctg}x,\quad x_k=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$;
ж) $$f(x)=\operatorname{tg}x,\quad x_k=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$;
з) $$f(x)=\operatorname{ctg}x,\quad x_k=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$.
а) $$f(x)=\frac{x^2-5x+4}{x-1}, \quad x_0=1.$$
Разложим числитель на множители:
$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4).$$
Тогда при $$x\ne 1$$
$$f(x)=\frac{(x-1)(x-4)}{x-1}=x-4.$$
Найдём предел при $$x\to 1$$:
$$\lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1}(x-4)=-3.$$
Значит, функцию можно доопределить в точке $$x_0=1$$ так, чтобы она стала непрерывной:
$$f(1)=-3.$$
д) $$f(x)=\cos x \,\tg x, \quad x_k=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in \mathbb Z.$$
Для всех $$x$$, где функция определена, имеем:
$$f(x)=\cos x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}=\sin x.$$
В точках $$x_k=\frac{\pi}{2}+\pi k$$ пределы существуют и равны:
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+\pi k\right)=(-1)^k.$$
Значит, можно доопределить функцию в каждой точке $$x_k$$ так:
$$f\!\left(\frac{\pi}{2}+\pi k\right)=(-1)^k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) да, нужно положить $$f(1)=-3$$;
д) да, нужно положить $$f\!\left(\frac{\pi}{2}+\pi k\right)=(-1)^k,\ k\in\mathbb Z.$$
