Упр.2.40 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) y= система
x/|x|, если x=/0
0, если x=0;
б) y= система
sinx/x , если x=/0
1, если x=0;
в) y= система
sin1/x, если x=/0
a, если x=0 (a принадлежит R);
г) y= система
x * sin1/x, если x=/0
0, если x=0;
д) y= система
x * sin1/x, если x=/0
1, если x=0;
е) y= система
arctg1/x, если x=/0
0, если x=0 (a принадлежит R);
ж) y= |{x}-1/2|;
з) y= система
|sinx|/, если x=/ пиn(n принадлежит Z)
0, если x=пиn (n принадлежит Z)?

а) При $$x>0$$ имеем $$\frac{x}{|x|}=1,$$ при $$x<0$$ имеем $$\frac{x}{|x|}=-1.$$

Следовательно, на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$ функция непрерывна. В точке $$x=0$$

$$\lim_{x\to 0-}\frac{x}{|x|}=-1,\qquad \lim_{x\to 0+}\frac{x}{|x|}=1.$$

Односторонние пределы не равны, значит, в точке $$x=0$$ функция имеет разрыв.

б) Функция $$\frac{\sin x}{x}$$ непрерывна при $$x\ne 0.$$

Предел при $$x\to 0$$ существует и равен

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.$$

Так как $$y(0)=1,$$ то функция непрерывна и в точке $$x=0.$$ Следовательно, точек разрыва нет.

в) При $$x\ne 0$$ функция $$y=\sin\frac{1}{x}$$ непрерывна, а при $$x\to 0$$ предела не имеет, так как значения функции бесконечно колеблются.

Поэтому в точке $$x=0$$ функция имеет разрыв при любом $$a\in\mathbb{R}.$$

г) При $$x\ne 0$$ функция $$y=x\sin\frac{1}{x}$$ непрерывна. Кроме того,

$$\left|x\sin\frac{1}{x}\right|\le |x|,$$

а значит,

$$\lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x}=0.$$

Так как $$y(0)=0,$$ функция непрерывна в точке $$x=0.$$ Точек разрыва нет.

д) Для $$x\ne 0$$ функция та же: $$y=x\sin\frac{1}{x},$$ и

$$\lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x}=0.$$

Но $$y(0)=1,$$ поэтому в точке $$x=0$$ функция имеет устранимый разрыв.

е) При $$x\ne 0$$ функция $$y=\arctan\frac{1}{x}$$ непрерывна. При $$x\to 0$$

$$\lim_{x\to 0+}\arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2},\qquad \lim_{x\to 0-}\arctan\frac{1}{x}=-\frac{\pi}{2}.$$

Односторонние пределы не равны, значит, в точке $$x=0$$ функция имеет разрыв.

ж) Функция $$y=\left|\{x\}-\frac12\right|$$ зависит от дробной части $$\{x\}.$$ На каждом промежутке $$[n,n+1)$$, $$n\in\mathbb{Z},$$ она непрерывна, а в целых точках происходит скачок дробной части.

Следовательно, точки разрыва: $$x=n,\; n\in\mathbb{Z}.$$

з) При $$x\ne \pi n$$, $$n\in\mathbb{Z},$$

$$y=\frac{|\sin x|}{\sin x}.$$

Если $$\pi n<x<\pi(n+1),$$ то $$\sin x$$ имеет постоянный знак, поэтому

$$y= \begin{cases} 1, & \sin x>0,\\ -1, & \sin x<0. \end{cases}$$

В точках $$x=\pi n$$ функция задана значением $$0,$$ а слева и справа от них принимает значения $$1$$ и $$-1$$. Значит, в каждой точке $$x=\pi n$$ есть разрыв.

Ответ

а) $$x=0$$; б) точек разрыва нет; в) $$x=0$$ при любом $$a\in\mathbb{R}$$; г) точек разрыва нет; д) $$x=0$$; е) $$x=0$$; ж) $$x=n,\; n\in\mathbb{Z}$$; з) $$x=\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$