Упр.2.40 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- 2-40. Имеет ли точки разрыва функция:
а) $$y=\begin{cases}\dfrac{x}{|x|},& x\ne0,\\0,& x=0;\end{cases}$$
б) $$y=\begin{cases}\dfrac{\sin x}{x},& x\ne0,\\1,& x=0;\end{cases}$$
в) $$y=\begin{cases}\sin\dfrac{1}{x},& x\ne0,\\a,& x=0,\end{cases}\quad a\in\mathbb{R};$$
г) $$y=\begin{cases}x\sin\dfrac{1}{x},& x\ne0,\\0,& x=0;\end{cases}$$
д) $$y=\begin{cases}x\sin\dfrac{1}{x},& x\ne0,\\1,& x=0;\end{cases}$$
е) $$y=\begin{cases}\operatorname{arctg}\dfrac{1}{x},& x\ne0,\\0,& x=0,\end{cases}\quad a\in\mathbb{R};$$
ж) $$y=\left|\{x\}-\dfrac{1}{2}\right|;$$
з) $$y=\begin{cases}|\sin x|/,& x\ne\pi n,\ n\in\mathbb{Z},\\0,& x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.\end{cases}$$
а) При $$x>0$$ имеем $$\frac{x}{|x|}=1,$$ при $$x<0$$ имеем $$\frac{x}{|x|}=-1.$$
Следовательно, на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$ функция непрерывна. В точке $$x=0$$
$$\lim_{x\to 0-}\frac{x}{|x|}=-1,\qquad \lim_{x\to 0+}\frac{x}{|x|}=1.$$
Односторонние пределы не равны, значит, в точке $$x=0$$ функция имеет разрыв.
б) Функция $$\frac{\sin x}{x}$$ непрерывна при $$x\ne 0.$$
Предел при $$x\to 0$$ существует и равен
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.$$
Так как $$y(0)=1,$$ то функция непрерывна и в точке $$x=0.$$ Следовательно, точек разрыва нет.
в) При $$x\ne 0$$ функция $$y=\sin\frac{1}{x}$$ непрерывна, а при $$x\to 0$$ предела не имеет, так как значения функции бесконечно колеблются.
Поэтому в точке $$x=0$$ функция имеет разрыв при любом $$a\in\mathbb{R}.$$
г) При $$x\ne 0$$ функция $$y=x\sin\frac{1}{x}$$ непрерывна. Кроме того,
$$\left|x\sin\frac{1}{x}\right|\le |x|,$$
а значит,
$$\lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x}=0.$$
Так как $$y(0)=0,$$ функция непрерывна в точке $$x=0.$$ Точек разрыва нет.
д) Для $$x\ne 0$$ функция та же: $$y=x\sin\frac{1}{x},$$ и
$$\lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x}=0.$$
Но $$y(0)=1,$$ поэтому в точке $$x=0$$ функция имеет устранимый разрыв.
е) При $$x\ne 0$$ функция $$y=\arctan\frac{1}{x}$$ непрерывна. При $$x\to 0$$
$$\lim_{x\to 0+}\arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2},\qquad \lim_{x\to 0-}\arctan\frac{1}{x}=-\frac{\pi}{2}.$$
Односторонние пределы не равны, значит, в точке $$x=0$$ функция имеет разрыв.
ж) Функция $$y=\left|\{x\}-\frac12\right|$$ зависит от дробной части $$\{x\}.$$ На каждом промежутке $$[n,n+1)$$, $$n\in\mathbb{Z},$$ она непрерывна, а в целых точках происходит скачок дробной части.
Следовательно, точки разрыва: $$x=n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
з) При $$x\ne \pi n$$, $$n\in\mathbb{Z},$$
$$y=\frac{|\sin x|}{\sin x}.$$
Если $$\pi n<x<\pi(n+1),$$ то $$\sin x$$ имеет постоянный знак, поэтому
$$y= \begin{cases} 1, & \sin x>0,\\ -1, & \sin x<0. \end{cases}$$
В точках $$x=\pi n$$ функция задана значением $$0,$$ а слева и справа от них принимает значения $$1$$ и $$-1$$. Значит, в каждой точке $$x=\pi n$$ есть разрыв.
Ответ
а) $$x=0$$; б) точек разрыва нет; в) $$x=0$$ при любом $$a\in\mathbb{R}$$; г) точек разрыва нет; д) $$x=0$$; е) $$x=0$$; ж) $$x=n,\; n\in\mathbb{Z}$$; з) $$x=\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
