Упр.2.37 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 2.37* Докажите, что уравнение х5 — 55 = 0 имеет корень на отрезке [2; 4].

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^5-55.$$ Она непрерывна на отрезке $$[2;4]$$.

Вычислим значения на концах отрезка:

$$f(2)=2^5-55=32-55=-23<0,$$

$$f(4)=4^5-55=1024-55=969>0.$$

Так как функция непрерывна на $$[2;4]$$ и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то по теореме о промежуточных значениях существует точка $$x_0\in(2;4)$$ такая, что $$f(x_0)=0.$$

Следовательно, уравнение $$x^5-55=0$$ имеет корень на отрезке $$[2;4].$$

Ответ

Да, уравнение $$x^5-55=0$$ имеет корень на отрезке $$[2;4].$$