Упр.2.34 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Определите все промежутки, на которых непрерывна функция:
   а) $$y=2\sqrt{\sin x}$$;
   б) $$y=\log_{\frac{1}{2}}(\tan x)$$;
   в) $$y=\log_{2}(x+1)$$.

Непрерывность сложной функции определяется непрерывностью её составляющих на области определения.

1. $$y=2^{\sqrt{\sin x}}$$

   Чтобы функция была определена, нужно:

   $$\sin x\ge 0.$$

   Это выполняется при

   $$x\in[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\quad n\in\mathbb Z.$$

   На внутренних точках этих отрезков функция непрерывна как композиция непрерывных функций. На концах отрезков значение тоже определено, поэтому функция непрерывна на каждом таком отрезке.

2. $$y=\log_{\frac12}(\tg x)$$

   Для существования логарифма нужно:

   $$\tg x>0.$$

   Тогда

   $$x\in\left(\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   На каждом таком промежутке функция непрерывна как композиция непрерывных функций.

3. $$y=\log_2(x+1)$$

   Нужно, чтобы

   $$x+1>0,$$

   то есть

   $$x>-1.$$

   Следовательно, функция непрерывна на промежутке

   $$(-1;\,+\infty).$$

Ответ

а) $$[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\quad n\in\mathbb Z;$$
б) $$\left(\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z;$$
в) $$(-1;\,+\infty).$$