Упр.2.31 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

a) f(x) = sinx; б) f(x) = cos х.

Докажем непрерывность по определению: функция непрерывна в точке $$x_0$$, если

$$\lim_{\Delta x \to 0}\Delta f=0,$$

где $$\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).$$

1. а) $$f(x)=\sin x$$

   Найдём приращение функции:

   $$\Delta f=\sin(x_0+\Delta x)-\sin x_0.$$

   Используем формулу разности синусов:

   $$\sin A-\sin B=2\sin\frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}.$$

   Тогда

   $$\Delta f=2\sin\frac{\Delta x}{2}\cos\left(x_0+\frac{\Delta x}{2}\right).$$

   Переходим к пределу:

   $$\lim_{\Delta x\to 0}\Delta f=2\lim_{\Delta x\to 0}\sin\frac{\Delta x}{2}\cdot \lim_{\Delta x\to 0}\cos\left(x_0+\frac{\Delta x}{2}\right)=2\cdot 0\cdot \cos x_0=0.$$

   Значит, функция $$y=\sin x$$ непрерывна в произвольной точке $$x_0\in\mathbb R$$.

2. б) $$f(x)=\cos x$$

   Найдём приращение функции:

   $$\Delta f=\cos(x_0+\Delta x)-\cos x_0.$$

   Используем формулу разности косинусов:

   $$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}.$$

   Тогда

   $$\Delta f=-2\sin\left(x_0+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin\frac{\Delta x}{2}.$$

   Переходим к пределу:

   $$\lim_{\Delta x\to 0}\Delta f=-2\lim_{\Delta x\to 0}\sin\left(x_0+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \lim_{\Delta x\to 0}\sin\frac{\Delta x}{2}=-2\sin x_0\cdot 0=0.$$

   Следовательно, функция $$y=\cos x$$ непрерывна в произвольной точке $$x_0\in\mathbb R$$.

Ответ

Функции $$y=\sin x$$ и $$y=\cos x$$ непрерывны при всех $$x_0\in\mathbb R$$.