Упр.2.30 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- Докажите, что если функции $$y=f(x)$$ и $$y=\varphi(x)$$ непрерывны в точке $$x_0$$, то в этой точке непрерывна также функция:
а) $$y=f(x)+\varphi(x)$$;
б) $$y=f(x)-\varphi(x)$$;
в) $$y=f(x)\cdot\varphi(x)$$;
г) $$y=\frac{f(x)}{\varphi(x)}$$ при условии $$\varphi(x_0)\ne0$$.
Пусть $$F(x)$$ — заданная функция.
Если $$F(x)=f(x)+\varphi(x)$$, то
$$\lim_{x\to x_0}F(x)=\lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+\varphi(x)\bigr) =\lim_{x\to x_0}f(x)+\lim_{x\to x_0}\varphi(x) =f(x_0)+\varphi(x_0)=F(x_0).$$
Значит, $$F(x)$$ непрерывна в точке $$x_0$$.
Если $$F(x)=f(x)-\varphi(x)$$, то
$$\lim_{x\to x_0}F(x)=\lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)-\varphi(x)\bigr) =\lim_{x\to x_0}f(x)-\lim_{x\to x_0}\varphi(x) =f(x_0)-\varphi(x_0)=F(x_0).$$
Следовательно, $$F(x)$$ непрерывна в точке $$x_0$$.
Если $$F(x)=f(x)\cdot \varphi(x)$$, то
$$\lim_{x\to x_0}F(x)=\lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\varphi(x)\bigr) =\lim_{x\to x_0}f(x)\cdot \lim_{x\to x_0}\varphi(x) =f(x_0)\varphi(x_0)=F(x_0).$$
Значит, $$F(x)$$ непрерывна в точке $$x_0$$.
Если $$F(x)=\dfrac{f(x)}{\varphi(x)}$$ и $$\varphi(x_0)\ne 0$$, то
$$\lim_{x\to x_0}F(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{\varphi(x)} =\frac{\lim_{x\to x_0}f(x)}{\lim_{x\to x_0}\varphi(x)} =\frac{f(x_0)}{\varphi(x_0)}=F(x_0).$$
Следовательно, $$F(x)$$ непрерывна в точке $$x_0$$.
Ответ
Сумма, разность, произведение непрерывных в точке $$x_0$$ функций непрерывны в этой точке; частное также непрерывно при условии $$\varphi(x_0)\ne 0$$.
