Упр.2.3 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) lim x- > 1 1/|x-1| = +бесконечность;
б) lim x- > -1 -1/(x+1)2 = -бесконечность;
в) lim x- > 2 1/(x-2)3 = бесконечность;
г) lim x- > -2 -3/(x+2) = бесконечность;

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$y=\frac{1}{|x-1|}.$$

Она определена при всех $$x\neq 1$$. При $$x\to 1$$ знаменатель $$|x-1|$$ стремится к нулю, оставаясь положительным, поэтому значение функции неограниченно возрастает:

$$\lim_{x\to 1}\frac{1}{|x-1|}=+\infty.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=-\frac{1}{(x+1)^2}.$$

Она определена при всех $$x\neq -1$$. При $$x\to -1$$ знаменатель $$ (x+1)^2 $$ стремится к нулю, а сама дробь остаётся отрицательной, значит значения функции неограниченно убывают:

$$\lim_{x\to -1}-\frac{1}{(x+1)^2}=-\infty.$$

в) Рассмотрим функцию $$y=\frac{1}{(x-2)^3}.$$

При $$x\to 2$$ знаменатель $$ (x-2)^3 $$ стремится к нулю. Так как степень нечётная, знак знаменателя зависит от того, с какой стороны подходит $$x$$ к числу $$2$$, поэтому значения функции по модулю неограниченно возрастают. Следовательно,

$$\lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^3}=\infty.$$

г) Рассмотрим функцию $$y=-\frac{3}{x+2}.$$

При $$x\to -2$$ знаменатель $$x+2$$ стремится к нулю, а числитель равен отрицательному числу $$-3$$. Поэтому значения функции неограниченно возрастают:

$$\lim_{x\to -2}-\frac{3}{x+2}=\infty.$$