Упр.2.3 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Объясните, почему верно равенство: а) $$\lim_{x \to 1}\frac{1}{|x-1|}=+\infty$$; б) $$\lim_{x \to -1}\frac{-1}{(x+1)^2}=-\infty$$; в) $$\lim_{x \to 2+}\frac{1}{(x-2)^3}=+\infty$$; г) $$\lim_{x \to -2-}\frac{-3}{x+2}=+\infty$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=\frac{1}{|x-1|}.$$

Она определена при всех $$x\neq 1$$. При $$x\to 1$$ знаменатель $$|x-1|$$ стремится к нулю, оставаясь положительным, поэтому значение функции неограниченно возрастает:

$$\lim_{x\to 1}\frac{1}{|x-1|}=+\infty.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=-\frac{1}{(x+1)^2}.$$

Она определена при всех $$x\neq -1$$. При $$x\to -1$$ знаменатель $$(x+1)^2$$ стремится к нулю, а сама дробь остаётся отрицательной, значит значения функции неограниченно убывают:

$$\lim_{x\to -1}-\frac{1}{(x+1)^2}=-\infty.$$

в) Рассмотрим функцию $$y=\frac{1}{(x-2)^3}.$$

При $$x\to 2$$ знаменатель $$(x-2)^3$$ стремится к нулю. Так как степень нечётная, знак знаменателя зависит от того, с какой стороны подходит $$x$$ к числу $$2$$, поэтому значения функции по модулю неограниченно возрастают. Следовательно,

$$\lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^3}=\infty.$$

г) Рассмотрим функцию $$y=-\frac{3}{x+2}.$$

При $$x\to -2$$ знаменатель $$x+2$$ стремится к нулю, а числитель равен отрицательному числу $$-3$$. Поэтому значения функции неограниченно возрастают:

$$\lim_{x\to -2}-\frac{3}{x+2}=\infty.$$

Ответ

а) $$+\infty$$; б) $$-\infty$$; в) $$\infty$$; г) $$\infty$$.