Упр.2.29 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 2.29 Докажите, что функция f(x) = аnxn + аn-1x^(n-1) + … + а1х + а0 непрерывна в любой точке х0 принадлежит R. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 2-29 118

Рассмотрим многочлен

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0.$$

Найдём предел функции при $$x \to x_0$$:

$$ \lim_{x\to x_0} f(x) = \lim_{x\to x_0}\left(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\right). $$

По свойствам предела и непрерывности степенной функции получаем:

$$ \lim_{x\to x_0} f(x) = a_n\lim_{x\to x_0}x^n+a_{n-1}\lim_{x\to x_0}x^{n-1}+\dots+a_1\lim_{x\to x_0}x+a_0. $$

Так как

$$ \lim_{x\to x_0}x^k=x_0^k \quad (k=1,2,\dots,n), $$

то

$$ \lim_{x\to x_0} f(x) = a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\dots+a_1x_0+a_0 = f(x_0). $$

Следовательно,

$$ \lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0), $$

значит, функция $$f(x)$$ непрерывна в любой точке $$x_0\in \mathbb{R}$$.

Ответ

Многочлен $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$$ непрерывен при всех $$x_0\in\mathbb{R}$$.