Упр.2.29 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что функция $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$$ непрерывна в любой точке $$x_0\in\mathbb{R}$$.

Рассмотрим многочлен

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0.$$

Найдём предел функции при $$x \to x_0$$:

$$\lim_{x\to x_0} f(x) = \lim_{x\to x_0}\left(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\right).$$

По свойствам предела и непрерывности степенной функции получаем:

$$\lim_{x\to x_0} f(x) = a_n\lim_{x\to x_0}x^n+a_{n-1}\lim_{x\to x_0}x^{n-1}+\dots+a_1\lim_{x\to x_0}x+a_0.$$

Так как

$$\lim_{x\to x_0}x^k=x_0^k \quad (k=1,2,\dots,n),$$

то

$$\lim_{x\to x_0} f(x) = a_nx_0^n+a_{n-1}x_0^{n-1}+\dots+a_1x_0+a_0 = f(x_0).$$

Следовательно,

$$\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0),$$

значит, функция $$f(x)$$ непрерывна в любой точке $$x_0\in \mathbb{R}$$.

Ответ

Многочлен $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$$ непрерывен при всех $$x_0\in\mathbb{R}$$.