Упр.2.28 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что в любой точке $$x_0 \in (0;+\infty)$$ непрерывна функция: а) $$y=\log_2(x)$$; б) $$y=x^{-\frac{3}{2}}$$.

а) Пусть $$f(x)=\log_2 x.$$ Тогда при $$x_0>0$$

$$\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=\log_2(x_0+\Delta x)-\log_2 x_0 =\log_2\frac{x_0+\Delta x}{x_0} =\log_2\left(1+\frac{\Delta x}{x_0}\right).$$

Если $$\Delta x\to 0,$$ то $$\frac{\Delta x}{x_0}\to 0,$$ значит

$$1+\frac{\Delta x}{x_0}\to 1,$$

и поэтому

$$\Delta f=\log_2\left(1+\frac{\Delta x}{x_0}\right)\to \log_2 1=0.$$

Следовательно, $$\Delta f\to 0$$ при $$\Delta x\to 0,$$ то есть функция $$y=\log_2 x$$ непрерывна в любой точке $$x_0\in(0;+\infty).$$

б) Пусть $$f(x)=x^{-\frac32}.$$ Тогда при $$x_0>0$$

$$\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=(x_0+\Delta x)^{-\frac32}-x_0^{-\frac32} =\frac{1}{(x_0+\Delta x)^{\frac32}}-\frac{1}{x_0^{\frac32}}.$$

При $$\Delta x\to 0$$ имеем $$x_0+\Delta x\to x_0,$$ а значит

$$\frac{1}{(x_0+\Delta x)^{\frac32}}\to \frac{1}{x_0^{\frac32}}.$$

Следовательно,

$$\Delta f\to 0 \quad \text{при} \quad \Delta x\to 0,$$

то есть функция $$y=x^{-\frac32}$$ непрерывна в любой точке $$x_0\in(0;+\infty).$$

Ответ

Обе функции $$y=\log_2 x$$ и $$y=x^{-\frac32}$$ непрерывны в каждой точке $$x_0\in(0;+\infty).$$