Упр.2.27 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что в любой точке $$x_0 \in \mathbb{R}$$ непрерывна функция: а) $$y=x^2$$; б) $$y=x^3$$; в) $$y=2x^3-x^2+x$$.

Проверим непрерывность функций в произвольной точке $$x_0 \in \mathbb{R}$$ по определению:

$$\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0).$$

1. а) $$f(x)=x^2$$

   $$f(x_0+\Delta x)=(x_0+\Delta x)^2=x_0^2+2x_0\Delta x+(\Delta x)^2.$$

   Тогда

   $$\lim_{\Delta x \to 0} f(x_0+\Delta x)=\lim_{\Delta x \to 0}\left(x_0^2+2x_0\Delta x+(\Delta x)^2\right)=x_0^2=f(x_0).$$

   Значит, функция $$y=x^2$$ непрерывна в любой точке $$x_0 \in \mathbb{R}$$.

2. б) $$f(x)=x^3$$

   $$f(x_0+\Delta x)=(x_0+\Delta x)^3=x_0^3+3x_0^2\Delta x+3x_0(\Delta x)^2+(\Delta x)^3.$$

   Тогда

   $$\lim_{\Delta x \to 0} f(x_0+\Delta x)=\lim_{\Delta x \to 0}\left(x_0^3+3x_0^2\Delta x+3x_0(\Delta x)^2+(\Delta x)^3\right)=x_0^3=f(x_0).$$

   Следовательно, функция $$y=x^3$$ непрерывна в любой точке $$x_0 \in \mathbb{R}$$.

3. в) $$f(x)=2x^3-x^2+x$$

   Так как многочлены непрерывны, то сумма и разность непрерывных функций также непрерывна. Поэтому функция $$f(x)=2x^3-x^2+x$$ непрерывна на всей числовой прямой.

   Проверим по определению:

   $$f(x_0+\Delta x)=2(x_0+\Delta x)^3-(x_0+\Delta x)^2+(x_0+\Delta x).$$

   При $$\Delta x \to 0$$ получаем

   $$\lim_{\Delta x \to 0} f(x_0+\Delta x)=2x_0^3-x_0^2+x_0=f(x_0).$$

   Значит, функция $$y=2x^3-x^2+x$$ непрерывна в любой точке $$x_0 \in \mathbb{R}$$.

Ответ

Все три функции $$y=x^2$$, $$y=x^3$$ и $$y=2x^3-x^2+x$$ непрерывны при всех $$x_0 \in \mathbb{R}$$.