Упр.2.26 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Является ли непрерывной на интервале $$(-\infty;+\infty)$$ функция:
а) $$f(x)=C$$;
б) $$f(x)=kx+b$$;
в) $$f(x)=ax^2+bx+c$$?
Ответ обоснуйте.

Подробный ответ

Проверим непрерывность по определению: функция непрерывна на интервале, если для любого $$x_0$$ из этого интервала выполняется

$$\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0).$$

$$f(x)=C.$$
Для любого $$x_0$$ имеем $$f(x_0)=C$$ и $$f(x_0+\Delta x)=C$$. Тогда
$$\lim_{\Delta x\to 0} f(x_0+\Delta x)=\lim_{\Delta x\to 0} C=C=f(x_0).$$
Значит, постоянная функция непрерывна на всей числовой прямой.
$$f(x)=kx+b.$$
Для любого $$x_0$$
$$f(x_0)=kx_0+b,$$
$$f(x_0+\Delta x)=k(x_0+\Delta x)+b=kx_0+k\Delta x+b.$$
Тогда
$$\lim_{\Delta x\to 0} f(x_0+\Delta x)=\lim_{\Delta x\to 0}(kx_0+k\Delta x+b)=kx_0+b=f(x_0).$$
Следовательно, линейная функция непрерывна на всей числовой прямой.
$$f(x)=ax^2+bx+c.$$
Для любого $$x_0$$
$$f(x_0)=ax_0^2+bx_0+c,$$
$$f(x_0+\Delta x)=a(x_0+\Delta x)^2+b(x_0+\Delta x)+c.$$
Раскроем скобки:
$$a(x_0+\Delta x)^2+b(x_0+\Delta x)+c=ax_0^2+2ax_0\Delta x+a(\Delta x)^2+bx_0+b\Delta x+c.$$
Тогда
$$\lim_{\Delta x\to 0} f(x_0+\Delta x)=ax_0^2+bx_0+c=f(x_0).$$
Значит, квадратный трёхчлен также непрерывен на всей числовой прямой.