Упр.2.25 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- Найдите приращение $$\Delta f$$ функции $$y=f(x)$$, соответствующее приращению аргумента $$\Delta x$$, в точке $$x_0$$: а) $$f(x)=2x$$; б) $$f(x)=-2x+1$$; в) $$f(x)=x^2$$. К чему стремится $$\Delta f$$ при $$\Delta x\to 0$$? Зависит ли ответ на этот вопрос от выбора точки $$x_0$$?
Найдём приращение функции по формуле $$\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).$$
Если $$f(x)=2x,$$ то
$$\Delta f=2(x_0+\Delta x)-2x_0=2\Delta x.$$
При $$\Delta x\to 0$$ получаем $$\Delta f\to 0.$$ Ответ не зависит от выбора точки $$x_0.$$
Если $$f(x)=-2x+1,$$ то
$$\Delta f=\bigl(-2(x_0+\Delta x)+1\bigr)-(-2x_0+1)=-2\Delta x.$$
При $$\Delta x\to 0$$ получаем $$\Delta f\to 0.$$ Ответ не зависит от выбора точки $$x_0.$$
Если $$f(x)=x^2,$$ то
$$\Delta f=(x_0+\Delta x)^2-x_0^2 =x_0^2+2x_0\Delta x+(\Delta x)^2-x_0^2 =2x_0\Delta x+(\Delta x)^2 =\Delta x(2x_0+\Delta x).$$
При $$\Delta x\to 0$$ имеем $$\Delta f\to 0.$$ Ответ зависит от выбора точки $$x_0$$, так как само приращение $$\Delta f=2x_0\Delta x+(\Delta x)^2$$ содержит $$x_0.$$
Ответ
а) $$\Delta f=2\Delta x,\quad \Delta f\to 0$$ при $$\Delta x\to 0$$; от $$x_0$$ не зависит.
б) $$\Delta f=-2\Delta x,\quad \Delta f\to 0$$ при $$\Delta x\to 0$$; от $$x_0$$ не зависит.
в) $$\Delta f=2x_0\Delta x+(\Delta x)^2=\Delta x(2x_0+\Delta x),\quad \Delta f\to 0$$ при $$\Delta x\to 0$$; от $$x_0$$ зависит.
