Упр.2.17 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

2.17. Вычислите:
а) $$\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}x}{7x}$$;
б) $$\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}7x}{x}$$;
в) $$\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}5x}{10x}$$;
г) $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{5x}$$;
д) $$\lim_{x\to 0}\frac{5x}{\sin 5x}$$;
е) $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{2x}$$;
ж) $$\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}x}{\sin x}$$;
з) $$\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}5x}{\sin x}$$;
и) $$\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}2x}{\sin 5x}$$.

Подробный ответ

Используем стандартные пределы:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\tg x}{x}=1.$$

Тогда:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tg x}{7x}=\frac{1}{7}\lim_{x\to 0}\frac{\tg x}{x}=\frac{1}{7}.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\tg 7x}{x}=7\lim_{x\to 0}\frac{\tg 7x}{7x}=7.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\tg 5x}{10x}=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\tg 5x}{5x}=\frac{1}{2}.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{5x}=\frac{1}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{5}.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{5x}{\sin 5x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\frac{\sin 5x}{5x}}=1.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{2x}=\frac{3}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{3x}=\frac{3}{2}.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\tg x}{\sin x}=\lim_{x\to 0}\left(\frac{\tg x}{x}\cdot\frac{x}{\sin x}\right)=1.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\tg 5x}{\sin x}=\lim_{x\to 0}\left(\frac{\tg 5x}{5x}\cdot\frac{5x}{\sin x}\right)=5.$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\tg 2x}{\sin 5x}=\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\left(\frac{\tg 2x}{2x}\cdot\frac{5x}{\sin 5x}\right)=\frac{2}{5}.$$