Упр.2.17 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

2.17 а) lim x- > 0 tgx/7x;
б) lim x- > 0 tg7x/x;
в) lim x- > 0 tg5x/10x;
г) lim x- > 0 sinx/5x;
д) lim x- > 0 5x/sin5x;
е) lim x- > 0 sin3x/2x;
ж) lim x- > 0 tgx/sinx;
з) lim x- > 0 tg5x/sinx;
и) lim x- > 0 tg2x/sin5x.

Используем стандартные пределы:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\tg x}{x}=1.$$

Тогда:

1. $$\lim_{x\to 0}\frac{\tg x}{7x}=\frac{1}{7}\lim_{x\to 0}\frac{\tg x}{x}=\frac{1}{7}.$$
2. $$\lim_{x\to 0}\frac{\tg 7x}{x}=7\lim_{x\to 0}\frac{\tg 7x}{7x}=7.$$
3. $$\lim_{x\to 0}\frac{\tg 5x}{10x}=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\tg 5x}{5x}=\frac{1}{2}.$$
4. $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{5x}=\frac{1}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{5}.$$
5. $$\lim_{x\to 0}\frac{5x}{\sin 5x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\frac{\sin 5x}{5x}}=1.$$
6. $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{2x}=\frac{3}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{3x}=\frac{3}{2}.$$
7. $$\lim_{x\to 0}\frac{\tg x}{\sin x}=\lim_{x\to 0}\left(\frac{\tg x}{x}\cdot\frac{x}{\sin x}\right)=1.$$
8. $$\lim_{x\to 0}\frac{\tg 5x}{\sin x}=\lim_{x\to 0}\left(\frac{\tg 5x}{5x}\cdot\frac{5x}{\sin x}\right)=5.$$
9. $$\lim_{x\to 0}\frac{\tg 2x}{\sin 5x}=\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\left(\frac{\tg 2x}{2x}\cdot\frac{5x}{\sin 5x}\right)=\frac{2}{5}.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{7}$$; б) $$7$$; в) $$\frac{1}{2}$$; г) $$\frac{1}{5}$$; д) $$1$$; е) $$\frac{3}{2}$$; ж) $$1$$; з) $$5$$; и) $$\frac{2}{5}$$.