Упр.2.16 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) lim x- > 0 tgx/x=1;
б) lim x- > 0 tgx/sinx =1.

а) Используем тождество $$\tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$$:

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\tg x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x\cos x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}. $$

Так как $$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$$ и $$\lim_{x\to 0}\cos x=1,$$ то

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\tg x}{x}=1\cdot 1=1. $$

б) Аналогично:

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\tg x}{\sin x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{\cos x\sin x} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}. $$

Поскольку $$\lim_{x\to 0}\cos x=1,$$ получаем

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\tg x}{\sin x}=1. $$

Ответ

а) $$1$$; б) $$1$$.