Упр.2.15 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- Вычислите:
а) $$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(\sin x+\cos x)$$;
б) $$\lim_{x\to1}(x^4-2x^2+x+1)$$;
в) $$\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1}$$;
г) $$\lim_{x\to-2}\frac{\sin x(x+2)}{x+2}$$;
д) $$\lim_{x\to0}\left(1-\frac{\cos 2x}{x^2}\right)$$;
е) $$\lim_{x\to0}(1+3x)^{\frac{1}{x}}$$;
ж) $$\lim_{x\to0}\left(1+\frac{3x}{2}\right)^{\frac{2}{x}}$$;
з) $$\lim_{x\to0}\left(\frac{2+x}{2}\right)^{\frac{4}{x}}$$.
$$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(\sin x+\cos x)=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\sin x+\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\cos x=1+0=1.$$
$$\lim_{x\to 1}(x^4-2x^2+x+1)=1^4-2\cdot 1^2+1+1=1.$$
$$\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}=\lim_{x\to 1}(x^2+x+1)=1+1+1=3.$$
$$\lim_{x\to -2}\frac{\sin(x+2)}{x+2}.$$
Обозначим $$u=x+2$$, тогда при $$x\to -2$$ имеем $$u\to 0$$:
$$\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.$$$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 2x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2 x}{x^2}=2\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2=2.$$
$$\lim_{x\to 0}(1+3x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0}\left((1+3x)^{\frac{1}{3x}}\right)^3.$$
Пусть $$u=3x$$, тогда $$u\to 0$$:
$$\lim_{u\to 0}\left((1+u)^{\frac{1}{u}}\right)^3=e^3.$$$$\lim_{x\to 0}\left(1+\frac{3x}{2}\right)^{\frac{2}{x}}=\lim_{x\to 0}\left(1+\frac{3x}{2}\right)^{\frac{3}{\frac{3x}{2}}} =\left(\lim_{x\to 0}\left(1+\frac{3x}{2}\right)^{\frac{1}{\frac{3x}{2}}}\right)^3=e^3.$$
$$\lim_{x\to 0}\left(\frac{2+x}{2}\right)^{\frac{4}{x}}=\lim_{x\to 0}\left(1+\frac{x}{2}\right)^{\frac{4}{x}}.$$
Обозначим $$u=\frac{x}{2}$$, тогда $$u\to 0$$ и $$\frac{4}{x}=\frac{2}{u}$$:
$$\lim_{u\to 0}(1+u)^{\frac{2}{u}}=e^2.$$
Ответ
а) $$1$$; б) $$1$$; в) $$3$$; г) $$1$$; д) $$2$$; е) $$e^3$$; ж) $$e^3$$; з) $$e^2$$.
