Упр.2.14 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Определите, чему равен предел функции $$y=f(x)$$ при $$x\to a$$, если:
а) $$f(x)=x^2$$, $$a=1$$;
б) $$f(x)=x^2$$, $$a=2$$;
в) $$f(x)=x^{-1}$$, $$a=2$$;
г) $$f(x)=x-2$$, $$a=3$$;
д) $$f(x)=3x$$, $$a=1$$;
е) $$f(x)=\log_3 x$$, $$a=2$$.
Докажите правильность своего ответа с помощью определения предела «на языке эпсилон — дельта» или «на языке последовательностей».

Подробный ответ

Для многочленов, степенных, линейных и логарифмических функций предел при $$x \to a$$ равен значению функции в точке $$a$$, если эта точка принадлежит области определения функции.

$$f(x)=x^2,\quad a=1$$
$$\lim_{x\to 1}x^2=1^2=1$$
$$f(x)=x^2,\quad a=2$$
$$\lim_{x\to 2}x^2=2^2=4$$
$$f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x},\quad a=2$$
$$\lim_{x\to 2}\frac{1}{x}=\frac{1}{2}$$
$$f(x)=x-2,\quad a=3$$
$$\lim_{x\to 3}(x-2)=3-2=1$$
$$f(x)=3x,\quad a=1$$
$$\lim_{x\to 1}3x=3\cdot 1=3$$
$$f(x)=\log_3 x,\quad a=2$$
Так как $$x=2$$ принадлежит области определения логарифма, то
$$\lim_{x\to 2}\log_3 x=\log_3 2$$

Проверка по определению предела для первых двух пунктов:

Для $$f(x)=x^2$$ при $$x\to 1$$ имеем

$$|x^2-1|=|x-1||x+1|.$$

Если взять $$|x-1|<1$$, то $$|x+1|<3$$, и тогда

$$|x^2-1|<3|x-1|.$$

Достаточно выбрать $$\delta=\min\left(1,\frac{\varepsilon}{3}\right)$$. Тогда из $$|x-1|<\delta$$ следует $$|x^2-1|<\varepsilon$$.

Аналогично для $$f(x)=x^2$$ при $$x\to 2$$:

$$|x^2-4|=|x-2||x+2|.$$

Если взять $$|x-2|<1$$, то $$|x+2|<5$$, и потому

$$|x^2-4|<5|x-2|.$$

Достаточно выбрать $$\delta=\min\left(1,\frac{\varepsilon}{5}\right)$$.