Упр.2.13 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Докажите, используя определение предела «на языке эпсилон — дельта» или «на языке последовательностей», что: а) $$\lim_{x\to 4}(3x-7)=5$$; б) $$\lim_{x\to 2}(5x-9)=1$$; в) $$\lim_{x\to -2}(-x+2)=4$$; г) $$\lim_{x\to 3}(-2x+7)=1$$; д) $$\lim_{x\to -4}(3x+10)=-2$$; е) $$\lim_{x\to -5}(2x-1)=-11$$.

Для линейной функции $$f(x)=kx+b$$ при $$x\to a$$ достаточно оценить разность

$$|f(x)-f(a)|=|k||x-a|.$$

Тогда для любого $$\varepsilon>0$$ можно выбрать

$$\delta=\frac{\varepsilon}{|k|}$$

и получить $$|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon.$$

1. $$\lim_{x\to 4}(3x-7)=5$$

   $$|(3x-7)-5|=|3x-12|=3|x-4|.$$

   Пусть $$\delta=\frac{\varepsilon}{3}$$. Тогда из $$|x-4|<\delta$$ следует

   $$|(3x-7)-5|=3|x-4|<3\delta=\varepsilon.$$

2. $$\lim_{x\to 2}(5x-9)=1$$

   $$|(5x-9)-1|=|5x-10|=5|x-2|.$$

   Пусть $$\delta=\frac{\varepsilon}{5}$$. Тогда

   $$|(5x-9)-1|=5|x-2|<5\delta=\varepsilon.$$

3. $$\lim_{x\to -2}(-x+2)=4$$

   $$|(-x+2)-4|=|-x-2|=|x+2|.$$

   Пусть $$\delta=\varepsilon$$. Тогда из $$|x+2|<\delta$$ следует

   $$|(-x+2)-4|=|x+2|<\varepsilon.$$

4. $$\lim_{x\to 3}(-2x+7)=1$$

   $$|(-2x+7)-1|=|-2x+6|=2|x-3|.$$

   Пусть $$\delta=\frac{\varepsilon}{2}$$. Тогда

   $$|(-2x+7)-1|=2|x-3|<2\delta=\varepsilon.$$

5. $$\lim_{x\to -4}(3x+10)=-2$$

   $$|(3x+10)-(-2)|=|3x+12|=3|x+4|.$$

   Пусть $$\delta=\frac{\varepsilon}{3}$$. Тогда

   $$|(3x+10)+2|=3|x+4|<3\delta=\varepsilon.$$

6. $$\lim_{x\to -5}(2x-1)=-11$$

   $$|(2x-1)-(-11)|=|2x+10|=2|x+5|.$$

   Пусть $$\delta=\frac{\varepsilon}{2}$$. Тогда

   $$|(2x-1)+11|=2|x+5|<2\delta=\varepsilon.$$

Ответ

$$\lim_{x\to 4}(3x-7)=5,\quad \lim_{x\to 2}(5x-9)=1,\quad \lim_{x\to -2}(-x+2)=4,$$

$$\lim_{x\to 3}(-2x+7)=1,\quad \lim_{x\to -4}(3x+10)=-2,\quad \lim_{x\to -5}(2x-1)=-11.$$