Упр.2.13 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
a) lim x- > 4(3х — 7) = 5;
б) lim x- > 2 (5x — 9) = 1;
в) lim x- > -2 (-x +2) = 4;
г) lim x- > 3 (-2x +7) = 1;
д) lim x- > -4 (3x + 10) = -2;
е) lim x- > -5 (2x — 1) = -11.
Для линейной функции $$f(x)=kx+b$$ при $$x\to a$$ достаточно оценить разность
$$|f(x)-f(a)|=|k||x-a|.$$
Тогда для любого $$\varepsilon>0$$ можно выбрать
$$\delta=\frac{\varepsilon}{|k|}$$
и получить $$|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon.$$
$$\lim_{x\to 4}(3x-7)=5$$
$$|(3x-7)-5|=|3x-12|=3|x-4|.$$
Пусть $$\delta=\frac{\varepsilon}{3}$$. Тогда из $$|x-4|<\delta$$ следует
$$|(3x-7)-5|=3|x-4|<3\delta=\varepsilon.$$
$$\lim_{x\to 2}(5x-9)=1$$
$$|(5x-9)-1|=|5x-10|=5|x-2|.$$
Пусть $$\delta=\frac{\varepsilon}{5}$$. Тогда
$$|(5x-9)-1|=5|x-2|<5\delta=\varepsilon.$$
$$\lim_{x\to -2}(-x+2)=4$$
$$|(-x+2)-4|=|-x-2|=|x+2|.$$
Пусть $$\delta=\varepsilon$$. Тогда из $$|x+2|<\delta$$ следует
$$|(-x+2)-4|=|x+2|<\varepsilon.$$
$$\lim_{x\to 3}(-2x+7)=1$$
$$|(-2x+7)-1|=|-2x+6|=2|x-3|.$$
Пусть $$\delta=\frac{\varepsilon}{2}$$. Тогда
$$|(-2x+7)-1|=2|x-3|<2\delta=\varepsilon.$$
$$\lim_{x\to -4}(3x+10)=-2$$
$$|(3x+10)-(-2)|=|3x+12|=3|x+4|.$$
Пусть $$\delta=\frac{\varepsilon}{3}$$. Тогда
$$|(3x+10)+2|=3|x+4|<3\delta=\varepsilon.$$
$$\lim_{x\to -5}(2x-1)=-11$$
$$|(2x-1)-(-11)|=|2x+10|=2|x+5|.$$
Пусть $$\delta=\frac{\varepsilon}{2}$$. Тогда
$$|(2x-1)+11|=2|x+5|<2\delta=\varepsilon.$$
Ответ
$$\lim_{x\to 4}(3x-7)=5,\quad \lim_{x\to 2}(5x-9)=1,\quad \lim_{x\to -2}(-x+2)=4,$$
$$\lim_{x\to 3}(-2x+7)=1,\quad \lim_{x\to -4}(3x+10)=-2,\quad \lim_{x\to -5}(2x-1)=-11.$$
