Упр.2.11 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) f(x) = x/|x|, a=0;
б) f(x) = (x2-4)/(x+2),a =-2;
в) f(x) = x2/|x|, a=0;
г) f(x) = x3/|x|, a=0.
Существует ли предел функции у = f(x) при х — > а? Если существует, то чему он равен?

а) При $$x \to 0-$$ и $$x<0$$ имеем $$|x|=-x$$, поэтому

$$\lim_{x\to 0-}\frac{x}{|x|}=\lim_{x\to 0-}\frac{x}{-x}=-1.$$

При $$x \to 0+$$ и $$x>0$$ имеем $$|x|=x$$, значит

$$\lim_{x\to 0+}\frac{x}{|x|}=\lim_{x\to 0+}\frac{x}{x}=1.$$

Левые и правые пределы не равны, поэтому общего предела не существует.

б) Разложим числитель на множители:

$$\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2,\quad x\ne -2.$$

Тогда

$$\lim_{x\to -2-}\frac{x^2-4}{x+2}=\lim_{x\to -2-}(x-2)=-4,$$

$$\lim_{x\to -2+}\frac{x^2-4}{x+2}=\lim_{x\to -2+}(x-2)=-4.$$

Левые и правые пределы равны, значит существует предел функции и он равен $$-4$$.

в) При $$x \to 0-$$ и $$x<0$$ имеем $$|x|=-x$$, поэтому

$$\lim_{x\to 0-}\frac{x^2}{|x|}=\lim_{x\to 0-}\frac{x^2}{-x}=\lim_{x\to 0-}(-x)=0.$$

При $$x \to 0+$$ и $$x>0$$ имеем $$|x|=x$$, значит

$$\lim_{x\to 0+}\frac{x^2}{|x|}=\lim_{x\to 0+}\frac{x^2}{x}=\lim_{x\to 0+}x=0.$$

Следовательно, предел существует и равен $$0$$.

г) При $$x \to 0-$$ и $$x<0$$ имеем $$|x|=-x$$, поэтому

$$\lim_{x\to 0-}\frac{x^3}{|x|}=\lim_{x\to 0-}\frac{x^3}{-x}=\lim_{x\to 0-}(-x^2)=0.$$

При $$x \to 0+$$ и $$x>0$$ имеем $$|x|=x$$, значит

$$\lim_{x\to 0+}\frac{x^3}{|x|}=\lim_{x\to 0+}\frac{x^3}{x}=\lim_{x\to 0+}x^2=0.$$

Следовательно, предел существует и равен $$0$$.

Ответ

а) $$\lim_{x\to 0-}\frac{x}{|x|}=-1,$$ $$\lim_{x\to 0+}\frac{x}{|x|}=1,$$ предела не существует.

б) $$\lim_{x\to -2-}\frac{x^2-4}{x+2}=-4,$$ $$\lim_{x\to -2+}\frac{x^2-4}{x+2}=-4,$$ предел равен $$-4$$.

в) $$\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{|x|}=0.$$

г) $$\lim_{x\to 0}\frac{x^3}{|x|}=0.$$