Упр.199 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 199 (МГТУ)

Подробный ответ

а) Рассмотрим неравенство
$$\frac{\sqrt{6+5x-x^2}}{x-2}<0.$$
Чтобы дробь была отрицательной, нужно:
$$\begin{cases}6+5x-x^2>0,\\ x-2<0.\end{cases}$$
Решим квадратное неравенство:
$$6+5x-x^2>0 \iff x^2-5x-6<0 \iff (x-6)(x+1)<0.$$
Отсюда
$$x\in(-1;6).$$
С учётом условия $$x<2$$ получаем
$$x\in(-1;2).$$
б) Рассмотрим неравенство
$$\frac{\sqrt{3+2x-x^2}}{x-2}<0.$$
Тогда
$$\begin{cases}3+2x-x^2>0,\\ x-2<0.\end{cases}$$
Решим квадратное неравенство:
$$3+2x-x^2>0 \iff x^2-2x-3<0 \iff (x-3)(x+1)<0.$$
Следовательно,
$$x\in(-1;3).$$
С учётом $$x<2$$ получаем
$$x\in(-1;2).$$
в) Рассмотрим неравенство
$$\frac{\sqrt{4-3x-x^2}}{x+3}>0.$$
Для положительности дроби нужно:
$$\begin{cases}4-3x-x^2>0,\\ x+3>0.\end{cases}$$
Решим квадратное неравенство:
$$4-3x-x^2>0 \iff x^2+3x-4<0 \iff (x+4)(x-1)<0.$$
Отсюда
$$x\in(-4;1).$$
С учётом $$x>-3$$ получаем
$$x\in(-3;1).$$
г) Рассмотрим неравенство
$$\frac{1-x}{\sqrt{2+x-x^2}}<0.$$
Знаменатель должен быть положительным:
$$2+x-x^2>0.$$
Кроме того, для отрицательности дроби нужно
$$1-x<0 \iff x>1.$$
Решим неравенство для знаменателя:
$$2+x-x^2>0 \iff x^2-x-2<0 \iff (x-2)(x+1)<0,$$
значит,
$$x\in(-1;2).$$
Пересекаем с условием $$x>1$$:
$$x\in(1;2).$$
д) Рассмотрим неравенство
$$\frac{3x+2}{\sqrt{2-x-x^2}}>0.$$
Тогда
$$\begin{cases}2-x-x^2>0,\\ 3x+2>0.\end{cases}$$
Решим первое неравенство:
$$2-x-x^2>0 \iff x^2+x-2<0 \iff (x+2)(x-1)<0,$$
откуда
$$x\in(-2;1).$$
Второе неравенство даёт
$$x>-\frac{2}{3}.$$
Пересечение множеств:
$$x\in\left(-\frac{2}{3};1\right).$$
е) Рассмотрим неравенство
$$\frac{x-1}{\sqrt{3+2x-x^2}}<0.$$
Нужно, чтобы
$$\begin{cases}3+2x-x^2>0,\\ x-1<0.\end{cases}$$
Решим первое неравенство:
$$3+2x-x^2>0 \iff x^2-2x-3<0 \iff (x-3)(x+1)<0,$$
значит,
$$x\in(-1;3).$$
Из условия $$x<1$$ получаем
$$x\in(-1;1).$$