Упр.197 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$(x-2)(x-3)\sqrt{x-1}\le 0$$; б) $$(x+2)(x+3)\sqrt{x+11}\le 0$$; в) $$(x-4)(x+3)\sqrt{x}\ge 0$$; г) $$(x-8)(x+7)\sqrt{x}\ge 0$$.

Рассмотрим неравенство

$$(x-2)(x-3)\sqrt{x-1}\le 0.$$

Так как $$\sqrt{x-1}\ge 0,$$ то произведение не положительно, когда:

• либо один из множителей равен нулю;
• либо знак произведения отрицательный.

Найдём область определения:

$$x-1\ge 0,\quad x\ge 1.$$

Рассмотрим знаки множителей на промежутке $$x\ge 1.$$

Нули выражения:

$$x=1,\quad x=2,\quad x=3.$$

Проверим промежутки:

• при $$1\le x\le 2$$ имеем $$x-2\le 0,$$ $$x-3\le 0,$$ $$\sqrt{x-1}\ge 0,$$ значит произведение $$\le 0;$$
• при $$2<x<3$$ произведение положительно;
• при $$x\ge 3$$ произведение снова неотрицательно, поэтому неравенство не выполняется, кроме точек, где выражение равно нулю.

Следовательно, решение:

$$x\in[1;2]\cup\{3\}.$$

Ответ

$$x\in[1;2]\cup\{3\}.$$