Упр.194 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

194. Решите неравенство.

1. а) Рассмотрим неравенство

   $$\frac{4^{\frac{1}{x}}-4}{2+x}<0.$$

   Преобразуем числитель:

   $$4^{\frac{1}{x}}-4=4^{\frac{1}{x}}-4^1.$$

   Так как основание $$4>0$$ и $$4\ne 1$$, то знак числителя определяется сравнением показателей:

   $$\frac{1}{x}-1=0 \quad \Rightarrow \quad x=1.$$

   Знаменатель обращается в нуль при

   $$x+2=0 \quad \Rightarrow \quad x=-2.$$

   Решаем методом интервалов для точек $$-2$$ и $$1$$. Знак выражения отрицателен на промежутках

   $$(-2;0)\cup(1;+\infty).$$

2. б) Рассмотрим неравенство

   $$\frac{2^{\frac{1}{x}}-2}{x-2}>0.$$

   Числитель равен нулю при

   $$2^{\frac{1}{x}}-2=0 \quad \Rightarrow \quad 2^{\frac{1}{x}}=2^1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x}=1 \quad \Rightarrow \quad x=1.$$

   Знаменатель обращается в нуль при

   $$x-2=0 \quad \Rightarrow \quad x=2.$$

   По методу интервалов получаем, что выражение положительно на промежутках

   $$(-\infty;0)\cup(1;+\infty).$$

3. в) Рассмотрим неравенство

   $$\frac{2^{-\frac{1}{x}}-2}{x+2}<0.$$

   Числитель равен нулю при

   $$2^{-\frac{1}{x}}-2=0 \quad \Rightarrow \quad 2^{-\frac{1}{x}}=2^1 \quad \Rightarrow \quad -\frac{1}{x}=1 \quad \Rightarrow \quad x=-1.$$

   Знаменатель обращается в нуль при

   $$x+2=0 \quad \Rightarrow \quad x=-2.$$

   По методу интервалов выражение отрицательно на промежутках

   $$(-2;-1)\cup(2;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-2;0)\cup(1;+\infty)$$; б) $$(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$; в) $$(-2;-1)\cup(2;+\infty)$$.