Упр.193 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 193 (МГУ, экон. ф-т). |х2 — 8х + 15| < = |15 - х2|.

Рассмотрим неравенство:

$$|x^2-8x+15|\le |15-x^2|.$$

Так как $$|15-x^2|=|x^2-15|,$$ возведём обе части в квадрат:

$$\left(x^2-8x+15\right)^2\le \left(15-x^2\right)^2.$$

Перенесём всё в одну сторону и разложим разность квадратов на множители:

$$\left(x^2-8x+15\right)^2-\left(15-x^2\right)^2\le 0,$$

$$\bigl(x^2-8x+15-(15-x^2)\bigr)\bigl(x^2-8x+15+(15-x^2)\bigr)\le 0.$$

Упростим скобки:

$$\bigl(2x^2-8x\bigr)\bigl(-8x+30\bigr)\le 0,$$

$$2x(x-4)\cdot (-2)(4x-15)\le 0,$$

$$x(x-4)(4x-15)\ge 0.$$

Решим методом интервалов. Нули выражения:

$$x=0,\quad x=\frac{15}{4},\quad x=4.$$

Знаки на промежутках дают решение:

$$x\in \left[0;\frac{15}{4}\right]\cup [4;+\infty).$$

Ответ

$$\left[0;\frac{15}{4}\right]\cup [4;+\infty)$$